2.4 平面向量的数量积

知识梳理

1.平面向量数量积的含义

已知两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积（linner product）（或内积），记作a·b，即规定a·b=|a||b|cosθ,其中θ是a与b的夹角，|a|cosθ(|b|cosθ)叫作向量a在b方向上(b在a方向上)的投影（projection）.并且规定，零向量与任一向量的数量积为0. 2.平面向量数量积的运算律

已知向量a、b、c和实数λ，则有： (1)a·b=b·a；

(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)； (3)(a+b)·c=a·c+b·c. 3.平面向量数量积的坐标表示

（1）设a=(x1，y1)，b=(x2,y2)，则a·b=x1x2+y1y2. （2）平面向量数量积公式的几个推论： ①若a=(x，y),则有|a|=x2?y2;

②设A、B两点的坐标分别是(x1,y1),(x2,y2)，则|AB|=(x2?x1)2?(y2?y1)2. ③若a=(x1,y1),b=(x2，y2),a、b的夹角为θ，则有 cosθ=

x1x2?y1y2x1?y1?x2?y22222.

若θ=90°，则cosθ=0，公式变形为x1x2+y1y2=0，这是两向量垂直的等价说法，即a⊥b?x1x2+y1y2=0. 知识导学

要学好本节内容，可通过探究活动利用向量的数量积定义推导有关结论，通过概念辨析题加深对平面向量数量积的认识，在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，以熟练地应用数量积的性质.处理向量的问题我们可以有两种思路:一是纯向量式,二是向量的坐标式,我们要灵活运用,二者互相补充,根据不同题目选择不同的方法. 疑难突破

1.向量的夹角.

剖析：（1）如图2-4-1，已知两个向量a、b，作OA=a，OB=b,则∠AOB叫做向量a、b的夹角.

图2-4-1

（2）两个向量a、b的夹角θ∈［0,π］.当θ=0时，a、b同向，当θ=π时，a、b反向.当θ=90°时，两向量a与b垂直，并记作a⊥b. 2.向量的数量积与实数的乘法有何区别?

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剖析： (1)如果两个数a·b=0，则a与b中至少有一个为0.而a·b=0可推导出以下四种可能：

①a=0，b=0；②a=0，b≠0；③a≠0，b=0；④a≠0，b≠0，但a⊥b.

(2)对于数量有：实数a、b、c且ab=ac,a≠0?b=c.但对于向量，这种推理就不正确，即a·b=a·c，且a≠0推不出b=c. 例如：|a|=1，|b|=

21?,|c|=,a与b的夹角为,a与c的夹角为0°， 224显然a·b=a·c=

1，但b≠c. 23.怎样确定两个向量的数量积的符号?

剖析：两个向量的数量积所得的数值为两个向量的模与两个向量夹角余弦值的乘积，由于|a|、|b|均为正数，故其符号由夹角来决定. 当0°≤θ＜90°时，cosθ＞0，a·b＞0； 当θ=90°时，a·b=0； 当90°＜θ≤180°时， cosθ＜0，a·b＜0. 4.向量的运算律

剖析：(1)a·b=|a||b|cosθ=|b||a|cosθ=b·a;

(2)(λa)·b=λ|a||b|cosθ=λ(|a||b|cosθ)=λ(a·b), 又λ|a||b|cosθ=|a|λ|b|cosθ=a·(λb), ∴(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb).

(3)如图2-4-2，任取一点O，作OA=a，AB=b，OC=c.因为a+b在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影的和，即|a+b|cosθ=|a|cosθ1+|b|cosθ2，

图2-4-2 ∴|c||a+b|cosθ=|c||a|cosθ1+|c||b|cosθ2. ∴c·(a+b)=c·a+c·b. ∴(a+b)·c=a·c+b·c. 值得注意的是：（1）两个向量的数量积是个实数，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量的夹角的余弦的乘积，其符号由夹角决定.

（2）两个向量a、b的数量积a·b与代数中a、b的乘积a·b不同，书写时要严格区分开.

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