第8讲 函数的奇偶性、周期性与对称性

夯实基础 【p17】

【学习目标】

1． 理解函数奇偶性的概念，了解函数周期性的定义，判断函数的奇偶性． 2．利用函数奇偶性、周期性求函数值及参数值． 3．掌握函数的单调性与奇偶性的综合应用． 【基础检测】

1．下列函数中，是偶函数的是( )

A．y＝|x2＋x| B．y＝2|x| C．y＝x3＋x D．y＝lg x

【解析】A项代入－x，得y＝|x－x|，与原函数不相等，所以不是偶函数．

2

B项代入－x，得y＝2|x|，与原函数相等，所以是偶函数． C项代入－x，得y＝－x3－x，与原函数不相等，所以不是偶函数． D项定义域没有关于原点对称，所以不是偶函数．

【答案】B

2．设函数y＝f(x)定义在实数集R上，则函数y＝f(a－x)与y＝f(x－a)的图象( ) A．关于直线y＝0对称 B．关于直线x＝0对称 C．关于直线y＝a对称 D．关于直线x＝a对称

【解析】令t＝x－a，因为函数y＝f(－t)与y＝f(t)的图象关于直线t＝0对称，所以函数y＝f(a－x)与y＝f(x－a)的图象关于直线x＝a对称．

【答案】D

3．若函数f(x)为奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，又f(2)＝0，则＜0的解集为( )

A．(－2，0)∪(0，2) B．(－∞，－2)∪(0，2)

1

f（x）－f（－x）

xC．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－2，0)∪(2，＋∞)

【解析】由奇函数的性质以及特殊点可作出如下简图：

由奇函数定义化简解析式：即f(x)与x异号即可，

由图象可知当－2

4．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋2)＝

1

对x∈R恒成立，当x∈[0，f（x）

f（x）－f（－x）2f（x）

＝＜0，

xx?9?x2]时，f(x)＝2，则f?－?＝( )

?2?

12

A. B.2 C. D．－1 22【解析】∵f(x＋2)＝∴f(x)的周期为4，

又因为f(x)是定义在R上的偶函数，

11

，∴f(x＋4)＝＝f(x)对x∈R恒成立， f（x）f（x＋2）

?9??1??1?∴f?－?＝f?－?＝f??，

?2??2??2?

?1?x∵当x∈[0，2]时，f(x)＝2，∴f??＝2.

?2?

【答案】B

?1?5．设f(x)是定义在R上的奇函数，在?0，?上单调递减，且f(x－1)＝f(－x)，给出?2?

下列四个结论：

①f(1)＝0；

②f(x)是以2为周期的函数；

?1?③f(x)在?，1?上单调递减； ?2?

④f(x＋1)为奇函数．

其中正确命题序号为__________．

2

【解析】①∵函数f(x)是定义在R上的奇函数， ∴f(0)＝0，f(－x)＝－f(x)， 又∵f(－x)＝f(x－1)，

∴f(1)＝－f(－1)＝－f(0)＝0，正确． ②∵f(x)是奇函数，且f(－x)＝f(x－1)， ∴f(x－1)＝－f(x)，

∴f(x＋2)＝f(x)，∴函数f(x)的周期是2，正确． ③∵f(x)是奇函数，f(x－1)＝－f(x)，∴f(1－x)＝f(x)， 1

即函数f(x)关于x＝对称，

2

?1?∵f(x)在?0，?上单调递减， ?2??1?∴f(x)在?，1?上单调递增，不正确． ?2?

④∵f(x)是奇函数，函数f(x)的周期是2， ∴f(－x＋1)＝f(－x－1)＝－f(x＋1)， ∴f(x＋1)是奇函数，正确． 【答案】①②④ 【知识要点】 1．函数奇偶性的定义

一般地，如果__对于函数f(x)的定义域内任意一个x__： (1)都有__f(－x)＝－f(x)__，那么函数f(x)就叫做奇函数； (2)都有__f(－x)＝f(x)__，那么函数f(x)就叫做偶函数．

2．奇函数的图象是关于__原点__成__中心__对称图形，若奇函数的定义域含有数0，则必有__f(0)＝0__；偶函数的图象是关于__y轴__成__轴__对称图形，对定义域内的任意x的值，必有__f(－x)＝f(x)＝f(|x|)__．

3．奇、偶函数的性质

(1)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．

(2)在公共定义域内

①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积都是偶函数；

3

③一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数． 4．周期性

(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中有最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

5．三个重要结论

(1)若对于R上的任意的x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．

(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)，且f(2b－x)＝f(x)(其中a

f(x)是以2(b－a)为周期的周期函数．

(3)若f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期为T＝|a－

b|.

典 例 剖 析 【p17】

考点1 函数奇偶性的判断

例1(1)下列函数为奇函数的是( ) A．y＝ln x B．y＝e C．y＝xsin x D．y＝e－e

【解析】对于选项A，定义域为(0，＋∞)，不关于原点对称，故不是奇函数．所以选项A错；

1－x

对于选项B，f(－x)＝e＝x≠－f(x)，故选项B错；

e

对于选项C，f(－x)＝－xsin(－x)＝－x(－sin x)＝xsin x＝f(x)，所以y＝xsin x为偶函数，故选项C错；

对于选项D，f(－x)＝e－e＝－(e－e)＝－f(x)，所以函数y＝e－e为奇函数，故选项D正确．

【答案】D

(2)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论

－x

x

x

－x

x

－x

x

－x

x

4