BC2?BD2?DC2?2?BD?DC?cos?BDC?25?8?2?5?22?2?25. 5所以BC?5.

点睛：该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理、同角三角函数关系式、诱导公式以及余弦定理，在解题的过程中，需要时刻关注题的条件，以及开方时对于正负号的取舍要从题的条件中寻找角的范围所满足的关系，从而正确求得结果.

18．【解析】分析：(1)首先从题的条件中确定相应的垂直关系，即BF⊥PF，BF⊥EF，又因为利用线面垂直的判定定理可以得出BF⊥平面PEF，又面PEF⊥平面ABFD.

(2)结合题意，建立相应的空间直角坐标系，正确写出相应的点的坐标，求得平面ABFD的法向量，设DP与平面ABFD所成角为，利用线面角的定义，可以求得

解：（1）由已知可得，BF?PF，BF?EF，所以BF?平面PEF. 又BF?平面ABFD，所以平面PEF?平面ABFD.

，得到结果.

，

平面ABFD，利用面面垂直的判定定理证得平

（2）作PH?EF，垂足为H. 由（1）得，PH?平面ABFD.

uuuruuur以H为坐标原点，HF的方向为y轴正方向，|BF|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H?xyz.

由（1）可得，DE?PE. 又DP?2，DE?1，所以PE?3. 又PF?1，EF?2，故PE?PF.

可得PH?33，EH?. 22

则H(0,0,0)，P(0,0,uuuruuur33333, ，，)D(?1,?,0)DP?(1,,)HP?(0,0,)为平面ABFD的法向量.

222223uuuruuurHP?DP3设DP与平面ABFD所成角为?，则 sin??|uuu. ruuur|?4?43|HP||DP|所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为3. 4

点睛：该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有面面垂直的证明以及线面角的正弦值的求解，属于常规题目，在解题的过程中，需要明确面面垂直的判定定理的条件，这里需要先证明线面垂直，所以要明确线线垂直、线面垂直和面面垂直的关系，从而证得结果；对于线面角的正弦值可以借助于平面的法向量来完成，注意相对应的等量关系即可.

理科数学试题 第13页（共17页）

19．【解析】分析：(1)首先根据与轴垂直，且过点点A的坐标为

或

，利用两点式求得直线

，求得直线l的方程为x=1，代入椭圆方程求得的方程；

(2)分直线l与x轴重合、l与x轴垂直、l与x轴不重合也不垂直三种情况证明，特殊情况比较简单，也比较直观，对于一般情况将角相等通过直线的斜率的关系来体现，从而证得结果. 解：（1）由已知得F(1,0)，l的方程为x?1.

由已知可得，点A的坐标为(1,所以AM的方程为y??22). )或(1,?2222x?2或y?x?2. 22

（2）当l与x轴重合时，?OMA??OMB?0?.

当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以?OMA??OMB.

当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y?k(x?1)(k?0)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1?2，x2?2，直线MA，MB的斜率之和为kMA?kMB?y1y2. ?x1?2x2?2由y1?kx1?k，y2?kx2?k得

kMA?kMB?2kx1x2?3k(x1?x2)?4k.

(x1?2)(x2?2)

x2将y?k(x?1)代入?y2?1得(2k2?1)x2?4k2x?2k2?2?0.

24k22k2?2所以，x1?x2?2. ,x1x2?22k?12k?14k3?4k?12k3?8k3?4k则2kx1x2?3k(x1?x2)?4k??0. 22k?1从而kMA?kMB?0，故MA，MB的倾斜角互补. 所以?OMA??OMB. 综上，?OMA??OMB.

点睛：该题考查的是有关直线与椭圆的问题，涉及到的知识点有直线方程的两点式、直线与椭圆相交的综合问题、关于角的大小用斜率来衡量，在解题的过程中，第一问求直线方程的时候，需要注意方法比较简单，需要注意的就是应该是两个，关于第二问，在做题的时候需要先将特殊情况说明，一般情况下，涉及到直线与曲线相交都需要联立方程组，之后韦达定理写出两根和与两根积，借助于斜率的关系来得到角是相等的结论.

20．【解析】分析：(1)利用独立重复实验成功次数对应的概率，求得

利用导数在相应区间上的符号，确定其单调性，从而得到其最大值点，这里要注意

理科数学试题 第14页（共17页）

，之后对其求导，

的条件；

(2)先根据第一问的条件，确定出，在解（i）的时候,先求件数对应的期望，之后应用变量之间的关

系，求得赔偿费用的期望；在解（ii）的时候，就通过比较两个期望的大小，得到结果.

218解：（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)?C220p(1?p). 因此

18217217 f?(p)?C220[2p(1?p)?18p(1?p)]?2C20p(1?p)(1?10p).

令f?(p)?0，得p?0.1. 当p?(0,0.1)时，f?(p)?0；当p?(0.1,1)时，f?(p)?0.所以f(p)的最大值点为p0?0.1.

（2）由（1）知，p?0.1.

（ⅰ）令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y:B(180,0.1)，X?20?2?25Y，即X?40?25Y.

所以EX?E(40?25Y)?40?25EY?490.

（ⅱ）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元. 由于EX?400，故应该对余下的产品作检验.

点睛：该题考查的是有关随机变量的问题，在解题的过程中，一是需要明确独立重复试验成功次数对应的概率公式，再者就是对其用函数的思想来研究，应用导数求得其最小值点，在做第二问的时候，需要明确离散型随机变量的可取值以及对应的概率，应用期望公式求得结果，再有就是通过期望的大小关系得到结论.

21．【解析】分析：(1)首先确定函数的定义域，之后对函数求导，之后对进行分类讨论，从而确定出导数在相应区间上的符号，从而求得函数对应的单调区间； (2)根据

存在两个极值点，结合第一问的结论，可以确定

，令

，得到两个极值点

是方程

的两个不等的正实根，利用韦达定理将其转换，构造新函数证得结果.

1ax2?ax?1解：（1）f(x)的定义域为(0,??)，f?(x)??2?1???.

xxx2（ⅰ）若a≤2，则f?(x)≤0，当且仅当a?2，x?1时f?(x)?0，所以f(x)在(0,??)单调递减.

a?a2?4a?a2?4（ⅱ）若a?2，令f?(x)?0得，x?或x?.

22a?a2?4a?a2?4)U(,??)时，f?(x)?0； 当x?(0,22a?a2?4a?a2?4a?a2?4a?a2?4,)时，f?(x)?0. 所以f(x)在(0,)，(,??)单调递当x?(2222a?a2?4a?a2?4,)单调递增. 减，在(22

（2）由（1）知，f(x)存在两个极值点当且仅当a?2.

由于f(x)的两个极值点x1，x2满足x2?ax?1?0，所以x1x2?1，不妨设x1?x2，则x2?1. 由于

理科数学试题 第15页（共17页）

f(x1)?f(x2)lnx1?lnx2lnx1?lnx2?2lnx21， ???1?a??2?a??2?a1x1?x2x1x2x1?x2x1?x2?x2x2所以

f(x1)?f(x2)1?a?2等价于?x2?2lnx2?0.

x1?x2x2

设函数g(x)?g(x)?0.

1?x?2lnx，由（1）知，g(x)在(0,??)单调递减，又g(1)?0，从而当x?(1,??)时，x所以

f(x1)?f(x2)1?x2?2lnx2?0，即?a?2. x2x1?x2

点睛：该题考查的是应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性、应用导数研究函数的极值以及极值所满足的条件，在解题的过程中，需要明确导数的符号对单调性的决定性作用，再者就是要先保证函数的生存权，先确定函数的定义域，要对参数进行讨论，还有就是在做题的时候，要时刻关注第一问对第二问的影响，再者就是通过构造新函数来解决问题的思路要明确. 22．【解析】分析：(1)就根据换，求得直角坐标方程；

(2)结合方程的形式，可以断定曲线是圆心为

，半径为的圆，是过点

且关于轴对称的两

，

以及

，将方程

中的相关的量代

条射线，通过分析图形的特征，得到什么情况下会出现三个公共点，结合直线与圆的位置关系，得到k所满足的关系式，从而求得结果.

解：（1）由x??cos?，y??sin?得C2的直角坐标方程为

(x?1)2?y2?4. （2）由（1）知C2是圆心为A(?1,0)，半径为2的圆.

由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线. 记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2. 由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两

个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点.

当l1与C2只有一个公共点时，A到l1所在直线的距离为2，所以|?k?2|4?2，故k??或k?0. 经

3k2?14检验，当k?0时，l1与C2没有公共点；当k??时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点.

3当l2与C2只有一个公共点时，A到l2所在直线的距离为2，所以验，当k?0时，l1与C2没有公共点；当k?4综上，所求C1的方程为y??|x|?2.

3|k?2|k2?1?2，故k?0或k?4. 经检34时，l2与C2没有公共点. 3

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