(1)由题意,结合几何关系即可求得a,b,c的值→求出圆O的方程及椭圆E的方程 (2)当直线l的斜率不存在时,计算出|AB|→当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+m,利用圆心到 直线l的距离等于半径可得m2=1+k2→联立直线与椭圆方程并消去y可得(4k2+3)x2+8kmx+4m2 - 12=0,由弦长公式表示出|AB|→ 利用换元法及二次函数的性质可得|AB|的取值范围 (1)因为b=√3c,所以a=2c. 因为|PM|+|PN|=2a,所以点M,N为椭圆的焦点,所以r2=c2=a2. 设P(x0,y0), - b≤y0≤b,则S△PMN=r·|y0|=a|y0|, 当|y0|=b时,(S△PMN)max=ab=√3, 所以r=c=1,b=√3,a=2,
所以圆O的方程为x2+y2=1,椭圆E的方程为
??24
1212
14
+
??2
=1. 3
3232(2)当直线l的斜率不存在时,不妨取直线l的方程为x=1,则可取A(1,),B(1, - ),|AB|=3. 当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+m,A(x1,kx1+m),B(x2,kx2+m), 因为直线l与圆O相切,所以??2由{4
|??|2√1+??
=1,即m2=1+k2,
+
??=????+??
??23
=1,
消去y,可得(4k2+3)x2+8kmx+4m2 - 12=0,
8????
2Δ=64k2m2 - 4(4k2+3)(4m2 - 12)=48(4k2+3 - m2)=48(3k2+2)>0,x1+x2= -
|AB|=√??2+1·√(??1+??2)2-4??1??2 =4√3·√??2+1·==
√4??2+3-??2
4??+3
,x1x2=
4??2-124??2+3
.
4??2+3
4√3·√(??2+1)(3??2+2)
4??2+3
31
314√3·√(??2+4+4)[3(??2+4)-4]
4??2+3
=√3·√-
11·
16(??2+3)24+·
11
+3.
2??2+3412??161243令t=
??+423,0 √-+??+3,0 所以|AB|=√3·√- 1 (??-4)216 +4,所以3<|AB|≤ 4√6]. 3综上,|AB|的取值范围是[3, 命题角度3 弦中点问题 7已知椭圆E: ??2??2 + ??2??2 =1(a>b>0)的右焦点为F (3,0),过点F 的直线交椭圆于A,B两点.若线段AB的中 点坐标为(1, - 1),则E的方程为 A. ??2??2 +=1 4536B. ??2??2 +=1 3627C. ??2??2 +=1 2718 D. ??2??2 +=1 189 由“点差法”得到中点坐标和斜率的关系式→利用焦点坐标和中点坐标,结合c=3,求出a2,b2的值→得到椭圆方程 ??21 ??2??22??2 设A(x1,y1),B(x2,y2),代入椭圆方程得{ ++ ??21????22??2 2 =1 ①,??2-??2??2-??2 ① - ②得122+122=0,易知x1≠x2, ???? =1 ②, ∴ ??1+??2??2 + ??1-??2??1+??2??1-??2 · ??2 =0. -1-01-3 ∵ x1+x2=2,y1+y2= - 2,kAB=∴ 2??2 =, 12 +×2=0,即a2=2b2. 1-22?? 又c=3=√??2-??2,∴a2=18,b2=9. ∴椭圆E的方程为 D 本题设出A,B两点的坐标,却不求出A,B两点的坐标,而是利用点差法,巧妙地表达出直线AB的斜率,并利用焦点坐标和中点坐标建立几何量之间的关系,从而快速解决问题. 4.[2019天津,18,13分][理]设椭圆 短轴长为4,离心率为. 5 √5 ??218 + ??2 =1. 9 ??2??2 + ??2??2 =1(a>b>0)的左焦点为F ,上顶点为B.已知椭圆的 (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)设点P在椭圆上,且异于椭圆的上、下顶点,点M为直线PB与x轴的交点,点N在y轴的负半轴上.若|ON|=|OF |(O为原点),且OP⊥MN,求直线PB的斜率. 数学应用椭圆与物理知识的融合 8如图10 - 1 - 3所示,椭圆有这样的一个光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆C的方程为 1,F 2,直线 ??2??2 + ??2??2 =1(a>b>0),其左、右焦点分别是F l与椭圆C切于点P,且|PF 1|=1,过点P且与直线l垂直的直线l' 与椭圆长轴交于点M, =,则椭圆C的标准方程为 ??2 ??2 ??2 13 若e=,A. ??24 √3??????????1 2?????????? 2??2 =1 2 + B.4+3=1C.4+y2=1 D. ??2 3 + ??2 =1 2 由光学知识得到直线l' 平分∠F 1PF 2→由三角形面积比和已知条件可求出a的值,再利用椭圆的定义、离心率可求出b的值→即得椭圆的方程 由光学知识可知直线l' 平分∠F 1PF 2, 因为 ???????????????????? ???? 1= 2 |??1??||??2??| = 1 |????||????|sin∠??1????211|????||????|sin∠??2????22 = |????1|1 =,|PF 1|=1,所以|PF 2|=3,又|PF 1|+|PF 2|=2a,所以|????2|3 a=2. 因为e== √32 ,b2=a2 - c2,所以b=1, ??24 所以椭圆的标准方程为+y2=1. C 素养探源 核心素养 数学运算 逻辑推理 S???????? 1 考查途径 |??1??||????|sin ∠??1????|????||????1| ①由光学知识得到=1=2=. 1S????????|??2??||????2||????||????|sin∠??2????2221 素养水平 二 ②由三角形面积比,椭圆的定义、离心率等求出a,b的值. 理解椭圆的光学性质,由光学知识得到直线l' 平分∠F 1PF 2. 二 解后反思 本题给出了椭圆的一个光学性质,即从椭圆的一个焦点出发的光线,经过椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点.本题以椭圆的光学性质为背景设题,与物理知识融合,考查椭圆的定义与性质,凸显了数学的应用性. 1.D 设椭圆的方程为 ??2?? +2??2?? =1(a>b>0),由e2=2=1 - 2?? ??2??2??2=,得a2=2b2,根据椭圆的定义可知△ABF2的周 2??216 1 长为4a,所以4a=16,即a=4,a2=16,b2=8,则椭圆的标准方程为 + ??28 =1,故选D. 222 2.D 设点M(x0,y0),因为???????? ??1??·???????? ??2??=0,所以(x0+c)·(x0 - c)+??0=0,即??0+??0=c2 ①. 2 ??0 2??0 又点M在椭圆C上,所以 ??2(??2 - ??2) 2 20≤??0≤a2,即{??2(????2 - ??2) ?? +2?? 2 =1 ②.①②联立,结合a2 - b2=c2,可得??0=2??2(??2 - ??2) ??2.由椭圆的性质可知 ≥0, ??21??2≥??2,即{22所以c2≥b2,所以c2≥a2 - c2,即2c2≥a2,可得e2≥.又0 ≤??2,?? - ??≤??, 以≤e<1.故选D. √22 3.D 如图D 10 - 1 - 1所示, 图D 10 - 1 - 1 ?????? =0,所以PM不妨设点P在y轴右边,延长PF2,F1M交于点N.因为M为∠F1PF2的平分线上一点,且???????? ??1??·????垂直平分F1N,故|PF1|=|PN|,由中位线定理可得|OM|=|F2N|.设点P(x0,y0),x0∈(0,4),由椭圆焦半径公式 21 得,|PF1|=a+ex0,PF2=a - ex0,所以|F2N|=|PF1| - |PF2|=2ex0,故|?????? ????|=ex0,因为a=4,c=√16 - 8=2√2,所以 e=2. ?????? |=ex0∈(0,2√2),故选D. 又x0∈(0,4),所以|???? 4.D 由题意可得椭圆的焦点在x轴上,如图D 10 - 1 - 2所示,设|F1F2|=2c,∵△PF1F2为等腰三角形,且∠F1F2P=120°,∴|PF2|=|F1F2|=2c.∵|OF2|=c,∴点P的坐标为(c+2ccos 60°,2csin 60°),即P(2c,√3c).∵点P在过点A且斜率为的直线上,∴ √36 √3??2??+?? √2= ??√3,解得6?? =,∴e=,故选D. 4 4 11 图D 10 - 1 - 2 5.10 2√5 设F1是椭圆的左焦点.如图D 10 - 1 - 3,连接AF1. 图D 10 - 1 - 3 由椭圆的对称性,结合椭圆的定义知|AF2|+|BF2|=2a=6,所以要使△ABF2的周长最小,必有|AB|=2b=4,所以△ABF2的周长的最小值为2a+2b=10.设A(xA,yA),??△??????2=??△????1??2=×2c×|yA|=√5|yA|≤2√5(当且仅当点 21 A在y轴上时等号能取到),所以△ABF2面积的最大值为2√5. 【技巧点拨】 以椭圆上一点P与椭圆的两焦点为顶点的三角形通常称为“焦点三角形”,利用椭圆的定义可求其周长.