第十章 圆锥曲线与方程

第一讲 椭 圆

1.[2020山西大同高三调研]在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为原点,焦点F 1,F 2在x轴上,离心率为

√22

,过F 1的直线l交C于A,B两点,且△ABF 2的周长为16,那么C的方程为

??2??2

+=1 3618

( )

A.B.

??2??2??2

+=1C.16104

+

??2

=1 2??2??2 D.

??2??2??2??2

+=1 168

2.[2020湖北省宜昌一中模拟]椭圆C:

+

=1(a>b>0)的两个焦点为F 1( - c,0),F 2(c,0),M是椭圆上的一

( )

√2点,且满足???????? ??1??·???????? ??2??=0,则椭圆的离心率的取值范围为 A.(0,] 2

√2 B.(0,) C.(,1) 2

2

√2√2 D.[,1)

2??2??2

+=1168

3.[2020江西抚州高三第一次联考]已知点P是椭圆上非顶点的动点,F 1,F 2分别是椭圆的左、右

( )

焦点,O为坐标原点,若M为∠F 1PF 2的平分线上一点,且???????? ??1??·?????? ????=0,则|?????? ????|的取值范围为 A.(0,3]

B.(0,2√2]

C.(0,3)

D.(0,2√2) ??2??24.[2018全国卷Ⅱ,12,5分][理]已知F 1,F 2是椭圆C:

√3+

??2??2=1(a>b>0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P( )

在过A且斜率为的直线上,△PF 1F 2为等腰三角形,∠F 1F 2P=120°,则C的离心率为

6A. B. C. D. 5.[2019沈阳高三质量监测]已知椭圆的方程为

??29

23121314

+

??2

=1,过椭圆中心的直线交椭圆于4

A,B两点,F 2是椭圆的

右焦点,则△ABF 2的周长的最小值为 ,△ABF 2的面积的最大值为 . 6.[2020云南师大附中高三模拟]设F 1,F 2为椭圆C:+y2=1的两个焦点,M为C上一点,且△MF 1F 2的内心

??24

I的纵坐标为2 - √3,则∠F 1MF 2的余弦值为 .

7.[2019浙江,15,4分]已知椭圆

??29

+

??2

=1的左焦点为F ,点P在椭圆上且在x轴的上方.若线段PF 的中点在5

以原点O为圆心,|OF |为半径的圆上,则直线PF 的斜率是 .

考法1椭圆定义的应用

1(1)[2020武汉市武昌实验中学模拟]已知F 1,F 2分别是椭圆C:

??2??2

+

??2

=1(a>3)的左、右焦点,P9

为椭圆

C上一点,

且∠F 1PF 2=120°,则|PF 1|·|PF 2|= . (2)[2020江西省九江市三校联考]已知F 是椭圆C:周长最大时,该三角形的面积为 .

(1)→得到|PF 1|·|PF 2|的值 余弦定理:|??1??2|2=|????1|2+|????2|2-

2|????1|·|????2|cos120°]条件(2)??2??21:椭圆方程+2516??2??2

+=12516

的右焦点,P是椭圆上一点,A(0,),当△APF 的

36

5

椭圆定义:|????1|+|????2|=2??条件2:△??????周长最大 直线????' =1

→ 的方程 →目标:S△APF =1|F F '|·|yA - yP| 2 ] ????的值 []4(a2 - 9)=4a2 - 2|PF 1|·|PF 2|+|PF 1|·|PF 2|=4a2 - |PF 1|·|PF 2|,解得|PF 1|·|PF (1)由椭圆的定义可知|PF 1|+|PF 2|=2a,且|F 1F 2|=2c=2√??2-9.根据余弦定理,得|F 1F 2|2=|PF 1|2+|PF 2

2| - 2|PF 1|·|PF 2|cos120°,所以2|=36.故填

36.

(2)设椭圆的左焦点为F ' ,由椭圆方程得a=5,F (3,0),F ' ( - 3,0).△APF 的周长为|AF |+|AP|+|PF |=|AF |+|AP|+2a - |PF '|≤10+(|AF |+|AF ' |),当A,F ' ,P三点共线且F ' 在线段AP上时取等号,此时△APF 的周长最大.设点P的坐标为(xP,yP),yP<0.易知直线AF ' 的方程为+=|F F ' |·|yA - yP|=×6×(

12

12

365

??-336=1,又5??

??2??25+

??2??16=1,可得yP= -

12

.所以5S△APF +

12144144)=.故填. 555

本题组的第(2)题中,利用数形结合的思想方法,巧妙地将求三角形APF 的周长的最大值转化为三角形的三边关系的分析,从而化繁为简,减少了计算量.

1.(1)已知椭圆C:

??24

+

??2

=1,M,N3

是坐标平面内的两点,且M与C的焦点不重合.若M关于C( )

的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|= A.4 B.8 C.12 D.16

(2)[2019全国卷Ⅲ,15,5分]设F 1,F 2为椭圆C:

2为等腰三角形,则

??2??2

+=1的两个焦点,M为C上一点且在第一象限.若△MF 1F 3620

M的坐标为 .

考法2椭圆的标准方程

2过点(√3, - √5),且与椭圆A.C.

??2??2

+=1 204

??2??2

+=1259

有相同焦点的椭圆的标准方程为

B.??2

2√5??24

+??2

=1 4

??2??2

+=1 204

D.+??2

=1 2√5

解法一 (定义法)椭圆

??2??2

+=1259

的焦点为(0, - 4),(0,4),即c=4.

由椭圆的定义知,2a=√(√3-0)2+(-√5+4)2+ √(√3-0)2+(-√5-4)2,解得a=2√5. 由c2=a2 - b2,可得b2=4. 所以所求椭圆的标准方程为解法二 ??2??2

+=1. 204

??2??2(-√5)2

(待定系数法)设所求椭圆方程为+=1(k> - 9),将点(√3, - √5)的坐标代入,可得

25+??9+??25+??

+

(√3)2

=1,解得9+??k= - 5,所以所求椭圆的标准方程为20+4=1.

??2??2

C

2.[2019全国卷Ⅰ,10，5分][,理]已知椭圆C的焦点为F 1( - 1,0),F 2(1,0),过F 2的直线与C交于A,B两点.若|AF 2|=2|F 2B|,|AB|=|BF 1|,则C的方程为 A.+y2=1

??22

( ) B.

??23

+

??2

=1 2

C.

??24

+

??2

=1 3

D.

??25

+

??2

=1 4

考法3椭圆的几何性质

命题角度1 求椭圆离心率或其取值范围

3 [2017全国卷Ⅲ,10,5分][理]已知椭圆C:

??2??2

+

??2??2

=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段

A1A2为直径的圆与直线bx - ay+2ab=0相切,则C的离心率为

A. B. C. D. 3

3

3

√6√3√213

根据已知求出圆的方程,根据直线与圆相切列出关于a,b的等式,结合a2=b2+c2求出离心率. 以线段A1A2为直径的圆的方程为x2+y2=a2,由原点到直线bx - ay+2ab=0的距离d=2

2????√??2+??2

=a,得

a2=3b2,所以

A

??√6

C的离心率e=√1-2=.

??

3

命题角度2 求与椭圆有关的最值或取值范围问题

4[2017全国卷Ⅰ,12,5分]设A,B是椭圆C:∠AMB=120°,则m的取值范围是 A.(0,1]∪[9,+∞)

B.(0,√3]∪[9,+∞)C.(0,1]∪[4,+∞)

D.(0,√3]∪[4,+∞)

??23

+

??2

=1??

长轴的两个端点.若C上存在点M满足

焦点位置不确定,分情况讨论. 依题意得{√??2

0

3.(1)设A1,A2分别为椭圆

- ,则该椭圆的离心率的取值范围是 A.(0,)

1212

??2??2

√3≥tan

∠??????

,或{√3≥tan

??>3,

√??∠??????

2

,≥tan60°,所以{√??≥tan60°,或{√3解得0

??>3,0

√3√??+

??2??2

=1(a>b>0)的左、右顶点,若在椭圆上存在点P,使得??????1·??????2>

( )

B.(0,)

2

√2

C.(,1)

2

√2

D.(,1)

??2

4

12

（2）如图10 - 1 - 2,焦点在x轴上的椭圆

+

??2??

2=1

的离心率e=,F ,A分别是椭圆的一个焦点和顶点,P是

12

????? 的最大值为 . ????? ·????椭圆上任意一点,则????

考法4直线与椭圆的综合应用

命题角度1 直线与椭圆的位置关系

5已知对任意k∈R,直线y - kx - 1=0与椭圆解法一 由椭圆方程,可知m>0,且m≠5,

??-????-1=0,

将直线与椭圆的方程联立,得{??2??2

+=1,

5

??

??25

+

??2

=1恒有公共点,则实数m的取值范围为 ??

.

整理,得(5k2+m)x2+10kx+5(1 - m)=0.

因为直线与椭圆恒有公共点,故Δ=(10k)2 - 4×(5k2+m)×5(1 - m)=20(5k2m - m+m2)≥0.因为m>0,所以不等式等价于5k2 - 1+m≥0,即k2≥

1-??1-??

,由题意,可知不等式恒成立,则≤0,解得55

m≥1.

综上,m的取值范围为m≥1且m≠5. 解法二 因为方程

??2

5

+

??2

=1??

表示椭圆,所以m>0且m≠5.

因为直线y - kx - 1=0过定点(0,1),

02

所以要使直线和椭圆恒有公共点,点(0,1)在椭圆上或椭圆内,即

5

121

+≤1,整理得≤1,解得????

m≥1.

综上,m的取值范围为m≥1且m≠5.

命题角度2 弦长问题

6 [2019河北省六校联考]已知椭圆E:

??2

??2

+

??2??2

=1(a>b>0)的焦距为2c,且b=√3c,圆O:x2+y2=r2(r>0)

与x轴交于点M,N,P为椭圆E上的动点,|PM|+|PN|=2a,△PMN面积的最大值为√3. (1)求圆O与椭圆E的方程;

(2)圆O的切线l交椭圆E于点A,B,求|AB|的取值范围.