15．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是正方体中心，N是棱A1B1上一点，P为正方体的表面动点，若满足OP⊥BN的P点轨迹为曲线E，则当N在棱A1B1上运动时，曲线E周长的取值范围是 ． 【考点】函数的最值及其几何意义．

【分析】根据正方体的几何特征，结合已知条件，分析出曲线E周长的最值，进而可得答案．

【解答】解：当N点与A1点重合时，

曲线E围成的区域为正方体对角边，如右图所示： 此时曲线E周长的取最大值：2+2；

当N点与B1点重合时，

曲线E围成的区域为与正方体底面平行的正方形， 如下图所示：

此时曲线E周长的取最小值：4； 故曲线E周长的取值范围是：，

故答案为：

16．设函数f（x）=x（）x+（n∈N*）的点，向量

，O为坐标原点，An为函数y=f（x）图象上横坐标为n

与向量=（1，0）的夹角为αn，则满足tanα1+tanα2+…+tanαn＜

的最大整数n的值为 2 ．

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【考点】数列的应用． 【分析】由题意，

，

，代入

tanα1+tanα2+…+tanαn＜，构造函数，判断出符合条件的最大整数n的值 【解答】解：∴即函数

，

，，

为减函数，

，

，

，

故最大整数n的值为2． 故答案为：2．

三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．已知向量=（sinx，），=（cosx，﹣1）．

（1）当∥时，求cos2x﹣sin2x的值；

（2）设函数f（x）=2（+）?，已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=

，b=2，sinB=

，求f（x）+4cos（2A+

）（x∈[0，

]）的取值范围．

【考点】平面向量数量积的运算．

【分析】（1）由两向量的坐标，以及两向量平行列出关系式，整理求出tanx的值，所求式子变形后利用同角三角函数间的基本关系变形，将tanx的值代入计算即可求出值； （2）利用平面向量的数量积运算法则确定出f（x），由a，b及sinB的值，利用正弦定理求出sinA的值，确定出A的度数，代入所求式子，根据x的范围求出这个角的范围，进而求出正弦函数的值域，即可确定出所求式子的范围． 【解答】解：（1）∵∥， ∴cosx+sinx=0， ∴tanx=﹣， ∴cos2x﹣sin2x= （2）由正弦定理得

=

，可得sinA=

，

…

==

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∴A=或A=，

∵b＞a， ∴A=

，

）=

sin（2x+

）﹣，

∴f（x）+4cos（2A+∵∴∴

故f（x）+4cos（2A+

，

，

）（x∈[0，

]）的取值范围为[

，

﹣]

18．通过随机询问某校110名高中学生在购买食物时是否看营养说明，得到如下的性别与看营养列联表： 男 女 总计 50 30 80 看营养说明 20 30 不看营养说明 10 60 50 110 总计 （1）从这50名女生中按是否看营养说明采取分层抽样，抽取一个容量为5的样本，问样本中看与不看营养说明的女生各有多少名？

（2）从（1）中的5名女生样本中随机选取两名作深度访谈，求选到看与不看营养说明的女生各一名的概率；

（3）根据以上列联表，问有多大把握认为“性别与在购买食物时看营养说明”有关？ K2= 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 p（K2≥k） k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【考点】独立性检验的应用． 【分析】（1）先求出每个个体被抽到的概率，再用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数．

（2）从这5名女生中随机选取两名，共有10个等可能的基本事件，其中，事件A“选到看与不看营养说明的女生各一名”包含了6个的基本事件，由此求得所求的概率． （3）根据性别与看营养说明列联表，求出K2的观测值k的值为7.486＞6.635，再根据P（K2≥6.635）=0.01，该校高中学生“性别与在购买食物时看营养说明”有关． 【解答】解：（1）根据分层抽样可得：样本中看营养说明的女生有样本中不看营养说明的女生有

=2 名．…

=3名，

（2）记样本中看营养说明的3名女生为a1、a2、a3，不看营养说明的2名女生为b1、b2，

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a2）a3） （a1、从这5名女生中随机选取两名，共有10个等可能的基本事件为：（a1、；（ a1、；

b1）；

（ a1、b2）；（a2、a3）；（a2、b1）；（a2、b2）；（a3、b1）；（a3、b2）；（b1、b2）．…

b1）其中，事件A“选到看与不看营养说明的女生各一名”包含了6个的基本事件：（a1、；（ a1、

b2）；

（a2、b1）；（a2、b2）；（a3、b1）；（a3、b2）．… 所以所求的概率为P（A）=

=．…

（3）性别与看营养说明列联表 单位：名 男 女 总计 50 30 80 看营养说明 20 30 不看营养说明 10 60 50 110 总计 假设H0：该校高中学生性别与在购买食物时看营养说明无关，则K2应该很小． 根据题中的列联表得K2=

≈7.486＞6.635，…

由P（K2≥6.635）=0.01，

有99%的把握认为该校高中学生“性别与在购买食物时看营养说明”有关．… 19．如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，设AC与BD相交于点O，若∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC．

（1）求证：FC∥平面EAD；

（2）求二面角A﹣FC﹣B的正弦值．

【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定． 【分析】（1）证明AD∥BC，DE∥BF．推出AD∥平面FBC，DE∥平面FBC，然后证明平面FBC∥平面EAD，即可证明FC∥平面EAD．

（2）连接FO、FD，说明△DBF为等边三角形，证明AC⊥FO，FO⊥平面ABCD，OA、OB、OF两两垂直，建立空间直角坐标系O﹣xyz，设AB=2，求出相关点的坐标，求出平面BFC的一个法向量，平面AFC的一个法向量，设二面角的平面角为θ，利用空间向量的数量积，求解二面角A﹣FC﹣B的正弦值． 【解答】（本小题满分12分） 解：（1）证明：∵四边形ABCD与BDEF均为菱形， ∴AD∥BC，DE∥BF．

∵AD?平面FBC，DE?平面FBC， ∴AD∥平面FBC，DE∥平面FBC，

又AD∩DE=D，AD?平面EAD，DE?平面EAD，

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