《小学数学疑难问题研究》 下载本文

15×4+16÷4

包含三个运算。适当运用括号,可以表示出实施这三个运算的任何一种顺序。如

[(15×4)+16]÷4

15×[4+(16÷4)]

[15×(4+16)]÷4

? ? ?

? ? ?

?

?

?

① ②

③ ②

等。共有6种不同的顺序。

【四则混合运算的运算顺序】在表达四则混合运算的算式中各个运算应有的顺序时,为了尽可能少用一些括号,人们对运算顺序作出了以下几点规定:

(1)在一个没有括号的算式中,如果只有加、减法,或者只有乘、除法,则从左到右依次运算;(“从左到右”)

(2)如果没有括号的算式中既有加、减法,又有乘除法,则先做乘除法,再做加减法;(“先乘除,后加减”)

(3)在一个有括号的算式中,先按上述规定计算括号里面的式子; (4)有几层括号时,从里到外依次计算。

按照这样的规定,上述三个四则混合运算的算式可以简化为:

(15×4+16)÷4

15×(4+16÷4)

15×(4+16)÷4

? ?

① ②

?

?

? ?

?

?

?

② ①

这三个运算的另三种运算顺序可分别表达为: 15×4+(16÷4)

15×4+16÷4

15×[(4+16)÷4]

? ?

② ③

?

? ? ?

?

?

?

① ③ ②

三个运算的六种不同的运算顺序只需平均用一对括号就能表达清楚。如果没有这些规定,那么为了说明上述每一个算式中三个运算的顺序平均得用两对括号。

至于为什么要规定“从左到右”,而不是“从右到左”,可能是为了使这种没有括号并且只有加、减法或

[(a?b)?c]?d??e中的括号可以全部省者只有乘、除法的算式的运算顺序与算式的书写顺序相同。于是?

略,而把这个算式写成a?b?c?d?e;但算式a??b?[c?(d?e)]?要保持原定的运算顺序,其中的三对括号一对也不能省。

规定了“先乘除,后加减”之后,(15×4)+(16÷4)中的括号可以省略,把它写成15×4+16÷4;而(15+4)×(16-4)中的括号就不能省。如果当初的规定不是“先乘除、后加减”,而是“先加减、后乘除”,则前一算式中的括号不能省,后一算式中的括号可以省去。

“从左到右”和“先乘除、后加减”都不是以客观规律为基础的定理或定律,而是一种有关数学符号语言的人为的规定,目的在于尽可能减少算式中为说明各个运算的顺序所用的括号。

A2—19 为什么两个数相除,如果商不是整数和有限小数,就一定是循环小数?(张秀花)

做除法时,如果除到个位还除不尽,可以在余数后面添0再除,得商的小数部分各位上的数。这些数中每个数的大小都取决于前次除得的余数。因为每次做除法的余数,都必须是小于除数的正整数,而小于除数的正整数只有有限个。所以除法做了若干次之后,就会出现相同的余数。余数出现了相同的,那就表明:商的小数部分的下一个循环即将开始,如22÷7=3.142857的演算过程如下: 3.1 4 2 8 5 7 1

2 2 7 2 1

余1 ? 1 0 ?商1

7 3 0 ?商4 余3?

2 8

2 0 ?商2 余2?

1 4 6 0 ?商8 余6?

5 6 4 0 余4? ?商5 3 5 ?商7 5 0 余5?

4 9 ?商1 1 0 余1 ?

可见,两个数相除,如果商不是整数和有限小数,那么商就一定是循环小数。

??