15×4＋16÷4

包含三个运算。适当运用括号，可以表示出实施这三个运算的任何一种顺序。如

[（15×4）＋16]÷4

15×[4＋（16÷4）]

[15×（4＋16）]÷4

? ? ?

③

? ? ?

①

?

②

?

①

?

③

① ②

③ ②

等。共有6种不同的顺序。

【四则混合运算的运算顺序】在表达四则混合运算的算式中各个运算应有的顺序时，为了尽可能少用一些括号，人们对运算顺序作出了以下几点规定：

（1）在一个没有括号的算式中，如果只有加、减法，或者只有乘、除法，则从左到右依次运算；（“从左到右”）

（2）如果没有括号的算式中既有加、减法，又有乘除法，则先做乘除法，再做加减法；（“先乘除，后加减”）

（3）在一个有括号的算式中，先按上述规定计算括号里面的式子； （4）有几层括号时，从里到外依次计算。

按照这样的规定，上述三个四则混合运算的算式可以简化为：

（15×4＋16）÷4

15×（4＋16÷4）

15×（4＋16）÷4

? ?

① ②

?

③

?

③

? ?

?

②

?

①

?

③

② ①

这三个运算的另三种运算顺序可分别表达为： 15×4＋(16÷4)

15×4＋16÷4

15×[（4＋16）÷4]

? ?

② ③

?

①

? ? ?

?

③

?

①

?

②

① ③ ②

三个运算的六种不同的运算顺序只需平均用一对括号就能表达清楚。如果没有这些规定，那么为了说明上述每一个算式中三个运算的顺序平均得用两对括号。

至于为什么要规定“从左到右”，而不是“从右到左”，可能是为了使这种没有括号并且只有加、减法或

[(a?b)?c]?d??e中的括号可以全部省者只有乘、除法的算式的运算顺序与算式的书写顺序相同。于是?

略，而把这个算式写成a?b?c?d?e；但算式a??b?[c?(d?e)]?要保持原定的运算顺序，其中的三对括号一对也不能省。

规定了“先乘除，后加减”之后，（15×4）＋（16÷4）中的括号可以省略，把它写成15×4＋16÷4；而（15＋4）×（16－4）中的括号就不能省。如果当初的规定不是“先乘除、后加减”，而是“先加减、后乘除”，则前一算式中的括号不能省，后一算式中的括号可以省去。

“从左到右”和“先乘除、后加减”都不是以客观规律为基础的定理或定律，而是一种有关数学符号语言的人为的规定，目的在于尽可能减少算式中为说明各个运算的顺序所用的括号。

A2—19 为什么两个数相除，如果商不是整数和有限小数，就一定是循环小数？（张秀花）

做除法时，如果除到个位还除不尽，可以在余数后面添0再除，得商的小数部分各位上的数。这些数中每个数的大小都取决于前次除得的余数。因为每次做除法的余数，都必须是小于除数的正整数，而小于除数的正整数只有有限个。所以除法做了若干次之后，就会出现相同的余数。余数出现了相同的，那就表明：商的小数部分的下一个循环即将开始，如22÷7=3.142857的演算过程如下： 3.1 4 2 8 5 7 1

2 2 7 2 1

余1 ? 1 0 ?商1

7 3 0 ?商4 余3?

2 8

2 0 ?商2 余2?

1 4 6 0 ?商8 余6?

5 6 4 0 余4? ?商5 3 5 ?商7 5 0 余5?

4 9 ?商1 1 0 余1 ?

可见，两个数相除，如果商不是整数和有限小数，那么商就一定是循环小数。

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