讲一讲

3．(1)若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，

b]上的图象可能是下图中的 ( )

(2)已知函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象如图，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是( )

[尝试解答] (1)由导数的几何意义知导函数递增说明函数切线斜率随x增大而变大，因此应选A.

(2)从导函数的图象可知两个函数在x0处斜率相同，可以排除B、C.再者导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小，可明显看出y＝f(x)的导函数的值在减小，所以原函数的斜率慢慢变小，排除A.

[答案] (1)A (2)D

导数与函数图象升降的关系

若函数y＝f(x)在x＝x0处的导数存在且f′(x0)>0(即切线的斜率大于零)，则函数y＝

f(x)在x＝x0附近的图象是上升的；若f′(x0)<0(即切线的斜率小于零)，则函数y＝f(x)

在x＝x0附近的图象是下降的．导数绝对值的大小反映了曲线上升和下降的快慢．

练一练

3．如图，点A(2，1)，B(3，0)，E(x，0)(x≥0)，过点E作OB的垂线l.记△AOB在直线l左侧部分的面积为S，则函数S＝f(x)的图象为下图中的( )

解析：选D 函数的定义域为(0，＋∞)，当x∈[0，2]时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS越来越大，即斜率f′(x)在[0，2]内越来越大，因此，函数S＝f(x)的图象是上升的，且图象是下凸的；

当x∈(2，3)时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS越来越小，即斜率f′(x)在(2，3)内越来越小，因此，函数S＝f(x)的图象是上升的，且图象是上凸的；

当x∈[3，＋∞)时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS为0，即斜率f′(x)在[3， ＋∞)内为常数0，此时，函数图象为平行于x轴的射线．

—————————————[课堂归纳·感悟提升]—————————————— 1．本节课的重点是求曲线在某一点的切线方程及导数几何意义的应用，难点是求曲线的切线方程．

2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)求曲线的切线方程的方法，见讲1； (2)已知曲线的切线求切点坐标，见讲2； (3)导数几何意义的应用，见讲3.

3．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上，这是本节课的易错点．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的曲线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在曲线上，则先设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点 .

课下能力提升(二)

[学业水平达标练]

题组1 求曲线的切线方程

1．曲线y＝x＋11在点(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( ) A．－9 B．－3 C．9 D．15

3

∴切线的方程为y－12＝3(x－1)． 令x＝0得y＝12－3＝9.

1?1?2．求曲线y＝在点?，2?的切线方程． x?2?

?1?所以曲线在点?，2?的切线斜率为 ?2?

k＝y′|x＝＝－4.

12

?1?故所求切线方程为y－2＝－4?x－?，即4x＋y－4＝0. ?2?

题组2 求切点坐标

3．若曲线y＝x＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( ) A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1 C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1

解析：选A ∵点(0，b)在直线x－y＋1＝0上，∴b＝1.

∴过点(0，b)的切线的斜率为y′|x＝0＝a＝1.

4．已知曲线y＝2x＋4x在点P处的切线斜率为16，则点P坐标为________． 解析：设P(x0，2x0＋4x0)，

222

又∵f′(x0)＝16，

∴4x0＋4＝16，∴x0＝3，∴P(3，30)． 答案：(3，30)

5．已知抛物线y＝2x＋1，请求出分别满足下列条件的切点坐标． (1)切线的倾斜角为45°； (2)切线平行于直线4x－y－2＝0； (3)切线垂直于直线x＋8y－3＝0.

解：设切点坐标为(x0，y0)，则Δy＝2(x0＋Δx)＋1－2x0－1＝4x0·Δx＋2(Δx)， ∴

Δy＝4x0＋2Δx， Δx

(1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°， ∴斜率为tan 45°＝1， 1

即f′(x0)＝4x0＝1，得x0＝，

4

2

2

2

2

?19?∴切点坐标为?，?. ?48?

(2)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0， ∴k＝4，即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1， ∴切点坐标为(1，3)．

(3)∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，

?1?∴k·?－?＝－1，即k＝8.故f′(x0)＝4x0＝8，得x0＝2. ?8?

∴切点坐标为(2，9)． 题组3 导数几何意义的应用 6．下面说法正确的是( )

A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)点(x0，f(x0))处没有切线 B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在

C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在 D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在

解析：选C 根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(x0，y0)处有导数，则切线一定存在，但反之不一定成立，故A，B，D错误．

7．曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么( ) A．f′(x0)>0 B．f′(x0)<0 C．f′(x0)＝0 D．f′(x0)不存在