1.1 变化率与导数
第1课时 变化率问题、导数的概念
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P2～P6的内容，回答下列问题． (1)气球膨胀率
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气球的体积V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数关系是V(r)＝πr，如果将半
333V径r表示为体积V的函数，那么r(V)＝.
4π
①当空气容量V从0增加到1 L时，气球的平均膨胀率是多少？ 提示：
r（1）－r（0）
1－0
≈0.62(dm/L)．
②当空气容量V从1 L增加到2 L时，气球的平均膨胀率是多少？ 提示：
r（2）－r（1）
2－1
≈0.16(dm/L)．
③当空气容量从V1 增加到V2时，气球的平均膨胀率又是多少？ 提示：
r（V2）－r（V1）
．
V2－V1
(2)高台跳水
在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t＋6.5t＋10.
①在0≤t≤0.5这段时间里，运动员的平均速度v是多少？ 提示：v＝
2
h（0.5）－h（0）
0.5－0
＝4.05(m/s)．
②在1≤t≤2这段时间里，运动员的平均速度v是多少？ 提示：v＝
h（2）－h（1）
2－1
＝－8.2(m/s)．
??65??③在t1≤t≤t2这段时间里， 运动员的平均速度 v又是多少？?其中，t1 提示：v＝ h（t2）－h（t1） ． t2－t1 2．归纳总结，核心必记 (1)函数的平均变化率 对于函数y＝f(x)，给定自变量的两个值x1和x2，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，我们把式子 f（x2）－f（x1） 称为函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率． x2－x1 习惯上用Δx表示x2－x1，即Δx＝x2－x1，可把Δx看作是相对于x1的一个“增量”，Δy可用x1＋Δx代替x2；类似地，Δy＝f(x2)－f(x1)．于是，平均变化率可表示为． Δx(2)瞬时速度 ①物体在某一时刻的速度称为瞬时速度． ②若物体运动的路程与时间的关系式是s＝f(t)，当Δt趋近于0时，函数f(t)在t0 到t0＋Δt之间的平均变化率体在t0时刻的瞬时速度． (3)导数的定义 一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是 ，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数， 记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ = ． f（t0＋Δt）－f（t0） 趋近于常数，我们就把这个常数叫做物 Δt[问题思考] (1)设A(x1，f(x1))，B (x2，f(x2))是曲线y＝f(x)上任意不同的两点，则函数y＝f(x)Δyf（x2）－f（x1）f（x1＋Δx）－f（x1）的平均变化率＝＝表示什么？ Δxx2－x1Δx 提示：表示割线AB的斜率． (2)Δx，Δy的值一定是正值吗？平均变化率是否一定为正值？ Δy提示：Δx，Δy可正可负，Δy也可以为零，但Δx不能为0.平均变化率可正、可 Δx负、可为零． (3)在高台跳水中，如何求在[1，1＋Δt]这段时间内的平均速度v？当Δt趋近于0时， 平均速度v有什么样的变化趋势？ 提示：＝当Δt趋近于0时，平均速度v即为t＝1时的瞬时速度． (4)平均变化率与瞬时变化率有什么区别和联系？ 提示：①区别：平均变化率刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x0点处变化的快慢； Δy②联系：当Δx趋于0时，平均变化率趋于一个常数，这个常数即为函数在x0处的 Δx瞬时变化率，它是一个固定值． [课前反思] (1)平均变化率的定义是： ； (2)什么是函数的瞬时变化率？它与平均变化率有什么区别和联系？ ； (3)导数的定义是什么？如何表示？ ； (4)平均速度与瞬时速度的定义是什么？它们有什么区别和联系？ ． . Δy[思考1] 平均变化率可用式子表示，其中Δy、Δx的意义是什么？ Δx提示：Δy、Δx分别表示函数值和自变量的变化量． [思考2] 如何求函数y＝f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率？ 提示：平均变化率为讲一讲 f（x2）－f（x1） ． x2－x1 1．已知函数f(x)＝3x＋5，求f(x)： (1)从0.1到0.2的平均变化率； (2)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率． [尝试解答] (1)因为f(x)＝3x＋5， 所以从0.1到0.2的平均变化率为 3×0.2＋5－3×0.1－5 ＝0.9. 0.2－0.1(2)f(x0＋Δx)－f(x0) ＝3(x0＋Δx)＋5－(3x0＋5) ＝3x0＋6x0Δx＋3(Δx)＋5－3x0－5 ＝6x0Δx＋3(Δx). 函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为 6x0Δx＋3（Δx） ＝6x0＋3Δx. Δx (1)求函数平均变化率的三个步骤 第一步，求自变量的变化量Δx＝x2－x1. 第二步，求函数值的变化量Δy＝f(x2)－f(x1)． Δyf（x2）－f（x1） 第三步，求平均变化率＝. Δxx2－x1(2)求平均变化率的一个关注点 求点x0附近的平均变化率，可用练一练 1 1．已知函数f(x)＝x＋，分别计算f(x)在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 f（x0＋Δx）－f（x0） 的形式． Δxx变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快． 解：自变量x从1变到2时，函数f(x)的平均变化率为 1 2＋－（1＋1）2f（2）－f（1）1＝＝； 2－112 1?1?5＋－?3＋?3?145?f（5）－f（3） 自变量x从3变到5时，函数f(x)的平均变化率为＝＝. 5－3215114 因为<， 215