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淮 海 工 学 院

14 – 15学年 第 1 学期 高等数学

B1 期中试卷

二、计算题（本大题共4小题，每题7分，共28分）

111．lim[?]．

x?0ln(1?2x)2x解：原式?lim答案及评分标准 题号 一 二 1 2 3 4 三 四 五 六 七 总 分 核分人 2x?ln(1?2x)2x?ln(1?2x) --------------------------------------3 ?lim2x?02xln(1?2x)x?04x1?(1?2x)?12x1?lim? ． L'Hlim---------------------------------------------4

分值 32 7 7 7 7 8 8 8 8 8 100 得分 一、选择题（本大题共12小题，仅作前八题，每题4分，共32分） ?)?x,x?01.设f(x??,g(x)?5x?4，

则f[g(0)]?-----------------------------(D) ?2?x,x?0(A) ?16 (B) ?4 (C) 4 (D) 16

12.lim2xx?0(1?x)? -----------------------------------------------------------------------------（D）

(A) ?1e2 (B) ?e (C) 1e2 (D) 1e 3. y?2x?12?x的水平渐近线为---------------------------------------------------------------(A)

(A) y??2 (B) y??12 (C) y?12 (D) y?2

4．设fx()n1?l()?x?x,则该函数在(?1,0)内的图象为----------------------------- (C)

(A) 增且凹 (B) 减且凹 (C) 增且凸 (D) 减且凸 5、当n???，n5,lnn5,ln5n,5n趋于无穷大速度最慢的是 ----------------------(B)

(A) n5 (B) lnn5 (C) ln5n (D) 5n

6.若f(x)的某一原函数为cosx，则f?(x)?---------------------------------------------(B) (A) ?sinx (B) ?cosx (C) sinx (D) cosx

7．下列式子中正确的是--------------------------------------------------------------------------(B)

(A)

?df(x)?f(x) (B)d?f(x)dx?f(x)dx (C) d?f(x)dx?f(x) (D) d?f(x)dx?f(x)?C

8. ?csc2xdsinx?-----------------------------------------------------------------------------(A)

(A) ?cscx?C (B)cscx?C (C) ?cotx?C (D) cotx?C

x?04xx?04x22．已知y?y(x)由方程cos(xy)?ex?y?2所确定，求y'(0),y''(0)．

解：?sin(xy)(y?xy?)?ex?y(1?y?)?0-----------------------------------------------------3

将x?0,y?0代入上式得y'(0)?1-----------------------------------------------------1 又?sin(xy)(y?xy')'?[sin(xy)]'(y?xy')?(ex?y)'(1?y')?ex?yy''?0-----2 将x?0,y?0,y'(0)?1代入上式得y''(0)?0．--------------------------------------1

3.?sin3xcos4xdx. 解：原式??tan3xsecxdx??tan2x(tanxsecxdx)----------------------------------------3

??tan2xdsecx??(sec2x?1)dsecx -------------------------------------------2

?133secx?secx?C. --------------------------------------------------------------2 4．?arctanxx2dx． 解：原式???arctanxd1x -----------------------------------------------------------------------1

??arctaxnx??xda1rctaxn??arxcx?ta?nx(1?x2dx1)-------------------2 ??arctaxnx??xdx1??x1?x2dx -------------------------------------------------2 ??arctanxx?lnx?C．(缺C扣1分)----------------------------------2

1?x2

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三、计算题（本题8分）

1设f?(lnx)?，且limf(x)?0，求f(x)．

x?+?1?x1u'解：令lnx?u?x?e,f(u)?---------------------------------------------------2 u1?e1e?u?u f(u)??du?du??ln(1?e)?C-------------------------3 ?u?u1?e1?e(?)?0C?0limfx六、计算题（本题8分）

设f(x)的一个原函数为6?x,求xf'(x)dx．

2?解：（1）由题意知：

?f(x)dx?6?x?C，-------------------------------------------------2

?x2?x22f(x)?(6)'??2x6ln6--------------------------------------2

故?xf'(x)dx??xdf(x)?xf(x)??f(x)dx-------------------------------------------2

??(2x2ln6?1)6?x?C．------------------------------------------------2

2 x?+?----------------------------------------------------------------2 故 f(x)??ln(1?e?x)．--------------------------------------------------------------1

四、计算题（本题8分）

求曲线??x?etsin2t在点(0,1)处的切线方程及法线方程． ?y?e2tcost解：

dydt?2e2tcost?e2tsint，----------------------------------------------------------------1 dxdt?et?sin2t?2cos2t?--------------------------------------------------------------------1 dydx?2cost?sintsin2t?2cos2t，----------------------------------------------------------------------2 ?x?0,y?1,t?0，k?dydxt=0?1------------------------------------------------------2

切线方程为x?y?1?0

-------------------------------------------------------------------1

法线方程为 x?y?1?0．-------------------------------------------------------------------1

五、证明题（本题8分）

当0?x??2时，sinx?tanx?2x .

证明：令f(x)=sinx?tanx?2x-------------------------------------------------------------１

f'(x)?cosx?sec2x?2?2cosxsec2x?2=2(secx?1)?0 ---------------4 于是f(x)为[0,?2)上的单调增加函数，------------------------------------------------１

故当0?x??2时，f(x)?f(0)?0(x?0)，变形即得结论．---------------------2

七、应用题（本题8分）

如图，陆上C处的货物要运到江边B处，设江岸为一直线，C到江岸的最近点为A，C到A之距为30公里，B到A之距100公里，已知每公里陆地运费为水路运费的2倍，问：C处的货物应运到江边哪一点D处，再转水运，才能使总费用L最小？

解：每公里水路运费为a， A x D B 则L?2a302?x2?a(100?x)x??0,100?-----3

L'(x)?2ax302?x2?a?0，x?103---------------3 C

因Lmin=min{L(0),L(103),L(100)}=L(103)----------------------------1 故C处的货物应运到江边距离点A103公里处，再转水运，才使L最小．-----------1