【点评】本题考查了切线的性质、矩形的性质与判定、切割线定理、勾股定理、三角形中位线定理等知识；熟练掌握切线的性质和三角形中位线定理是解题的关键． 22．九一班计划购买A、B两种相册共42册作为毕业礼品，这两种相册的单价分别是50元和40元，由于学生对两类相册喜好不同，经调查得知：购买的A种相册的数量要少于B种相册数量的，但又不少于B种相册数量的，如果设买A种相册x册，买这两种
4
5
3
2
相册共花费y元．
（1）求计划购买这两种相册所需的费用y（元）关于x（册）的函数关系式． （2）班委会多少种不同的购买方案？
（3）商店为了促销，决定对A种相册每册让利a元销售（12≤a≤18），B种相册每册让利b元销售，最后班委会同学在付款时发现：购买所需的总费用与购买的方案无关，当总费用最少时，求此时a的值．
【分析】（1）根据题意得到y（元）关于x（册）的函数关系式；
（2）根据题意可得到一个关于x的不等式组，可求出x的取值范围，再结合花费的函数式，可求出x的具体数值；
（3）根据购买所需的总费用与购买的方案无关可得函数关系式中x的系数为0，即可得到a与b的关系，再根据函数最小即可确定a的取值范围，即可得到结论． 解：（1）依题意得：y＝50x+40（42﹣x）， 即y＝10x+1680；
（2）依题意得 ??＜4(???????){， 2
??≥5(???????)解得12≤x＜18，
∴x可取12、13、14、15、16、17， 故班委会有6种不同的购买方案；
（3）设总费用为w，根据题意得， w＝（50﹣a）x+（40﹣b）（42﹣x）， w＝（50﹣a）x+42（40﹣b）﹣（40﹣b）x， w＝（10﹣a+b）x+42（40﹣b），
∵购买所需的总费用与购买的方案无关，即w的值与x无关， ∴10﹣a+b＝0， ∴b＝a﹣10，
∴w＝42[40﹣（a﹣10）]＝﹣42a+2100， ∵﹣42＜0，∴w随a增大而减小， 又∵12≤a≤18，
∴a＝18时，w最小＝1354（元） 所以a＝18．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．学会构建一次函数解决实际问题，属于中考常考题型． 23．△ABC中，AD⊥BC，E，F分别在AB，AC上． （1）已知：DE⊥DF
①如图1：若AB⊥AC，求证：△DAE～△DFC．
②连EF，若FE⊥AB于E（如图2），且BD：CD：DA＝2：3：4，EF＝4√??，求BC的长．
（2）连EC，DE平分∠BEC（如图3），且AD＝2CD，CE＝2AE，若DE＝10，求AC的长．
3
【分析】（1）①由互余的性质可求∠ADE＝∠CDF，∠DAE＝∠C，即可证△DAE～△DFC；
②由BD：CD：DA＝2：3：4，可设BD＝2k，CD＝3k，DA＝4k，作CG⊥AB，得：FE∥CG，由对应线段成比例可得：AE：AF＝1：√??，求出AE，AF，再由△CFN∽△CAD，△DME∽△DNF即可求解；
（2）由于CE＝2AE，可取EC中点K，连接AK交BC于H，过点E作EM⊥AH于M，过点D作DN⊥AH于N，应用等腰三角形性质和角平分线易证AH∥DE，△CKH∽△CED，△DHN∽△AHD，再结合勾股定理可求得AC．
【解答】证明：（1）①如图1，∵DE⊥DF，AD⊥BC，AB⊥AC，
∴∠BAD+∠DAC＝90°，∠DAC+∠C＝90°，∠ADF+∠ADE＝90°，∠ADF+∠CDF＝90°
∴∠ADE＝∠CDF，∠DAE＝∠C ∴△DAE～△DFC
②如图2，过点C作CG⊥AB于G，过点E作EM⊥AD于M，过点F作FN⊥BC于N， ∵BD：CD：DA＝2：3：4，可设BD＝2k，CD＝3k，DA＝4k，
由勾股定理得：AB=√??????+??????=√(????)??+(????)??=2√??k，AC=√??????+??????=√(????)??+(????)??=5k ∵BC＝AC＝5k，CG⊥AB ∴AG＝BG=AB=√??k
2∵FE⊥AB ∴FE∥CG ∴
????
√5??√5 ===
????????5??5
????
1
AF＝5m，AE2+EF2＝AF2，设AE=√??m，由勾股定理得：即：（5m）(√????)??+(??√??)??=
2
，
解得：m1＝﹣2（舍去），m2＝2； ∴AE＝2√??，AF＝10， ∵EM⊥AD，AD⊥BC， ∴△AEM∽△ABD，
????????
=
????????
=
????????
，即：
????2??
=
????4??
=
2√52√5??
∴EM＝2，AM＝4 ∵AD⊥BC，FN⊥BC ∴△CFN∽△CAD ∴
????????
=
????????
=
????????
，即：????4??
=
????3??
=
5???105??
∴FN＝4k﹣8，CN＝3k﹣6 ∴DN＝CD﹣CN＝6 ∵DE⊥DF，AD⊥BC
∴∠EDM+∠FDM＝∠FDN+∠FDM＝90° ∴∠EDM＝∠FDN ∵∠DME＝∠DNF＝90° ∴△DME∽△DNF ∴
????????
=
????????
，即：2
4???4
=
4???8
，解得：????=，????=（舍去）；
226
51
∴BD＝2×
55151525
5，CD＝3×=，BC＝5+= =22222（2）取EC中点K，连接AK交BC于H，过点E作EM⊥AH于M，过点D作DN⊥AH于N， ∵CE＝2AE＝2EK ∴AE＝EK ∴∠BAH＝∠AKE ∵∠BEC＝∠BAH+∠AKE ∴∠BEC＝2∠BAH ∵DE平分∠BEC ∴∠BEC＝2∠BED