2019年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅲ)(解析版) 下载本文

【详解】(1)证:

AD//BE,BF//CG,又因为E和F粘在一起.

?AD//CG,A,C,G,D四点共面.

AB?BE,AB?BC.

?AB?平面BCGE,

AB?平面ABC,?平面ABC?平面BCGE,得证.

(2)取CG的中点M,连结EM,DM.因为AB//DE,AB?平面BCGE,所以DE?平面BCGE,故

DE?CG,

由已知,四边形BCGE是菱形,且?EBC?60得EM?CG,故CG?平面DEM。 因此DM?CG。

在Rt△DEM中,DE=1,EM?3,故DM?2。 所以四边形ACGD的面积为4.

【点睛】很新颖的立体几何考题。首先是多面体粘合问题,考查考生在粘合过程中哪些量是不变的。再者粘合后的多面体不是直棱柱,建系的向量解法在本题中略显麻烦,突出考查几何方法。最后将求四边形ACGD的面积考查考生的空间想象能力.

20.已知函数f(x)?2x?ax?2. (1)讨论f(x)的单调性;

(2)当0

(1)先求f(x)的导数,再根据a的范围分情况讨论函数单调性;(2) 讨论a的范围,利用函数单调性进行最大值和最小值的判断,最终求得M?m的取值范围.

32【详解】(1)对f(x)?2x?ax?2求导得f'(x)?6x?2ax?6x(x?).所以有

2328,2). 27a3当a?0时,(??,)区间上单调递增,(,0)区间上单调递减,(0,??)区间上单调递增; 当a?0时,(??,??)区间上单调递增;

当a?0时,(??,0)区间上单调递增,(0,)区间上单调递减,(,??)区间上单调递增. (2)

a3a3a3a3

若0?a?2,f(x)在区间(0,)单调递减,在区间(,1)单调递增,所以区间[0,1]上最小值为f().而

a3a3a3f(0)?2,f(1)?2?a?2?f(0),故所以区间[0,1]上最大值为f(1).

aa3a2a3x3所以M?m?f(1)?f()?(4?a)?[2()?a()?2]??a?2,设函数g(x)??x?2,求导

33327278a3x2g'(x)??1当0?x?2时g'(x)?0从而g(x)单调递减.而0?a?2,所以??a?2?2.即

272798,2). 27aaa若2?a?3,f(x)在区间(0,)单调递减,在区间(,1)单调递增,所以区间[0,1]上最小值为f()而

333M?m的取值范围是[f(0)?2,f(1)?2?a?2?f(0),故所以区间[0,1]上最大值为f(0).

aa3a2a38a3所以M?m?f(0)?f()?2?[2()?a()?2]?,而2?a?3,所以??1.即M?m的取

333272727值范围是(8,1). 278,2). 27综上得M?m的取值范围是[【点睛】(1)这是一道常规的函数导数不等式和综合题,题目难度比往年降低了不少.考查的函数单调性,最大值最小值这种基本概念的计算.思考量不大,由计算量补充.

1x221.已知曲线C:y?,D,为直线y??上的动点,过D作C的两条切线,切点分别为A,B.

22(1)证明:直线AB过定点: (2)若以E?0,??5??为圆心的圆与直线AB相切,且切点为线段AB的中点,求该圆的方程. 2?2【答案】(1)见详解;(2) x?(y?)?4或x?(y?)?2. 【解析】 【分析】

B两点处的切线方程,(1)可设A(x1,y1),B(x2,y2),D(t,?)然后求出A,比如AD:y1?又因为BD也有类似的形式,从而求出带参数直线AB方程,最后求出它所过的定点.

(2)由(1)得带参数的直线AB方程和抛物线方程联立,再通过M为线段AB的中点,EM?AB得出t的

5222522121?x1(x1?t),2

值,从而求出M坐标和EM的值,最后求出圆的方程. (1)证明:【详解】设D(t,?),A(x1,y1),则y1?故y1?121212x1。又因为y?x,所以y'?x.则切线DA的斜率为x1,221?x1(x1?t),整理得2tx1?2y1?1?0.设B(x2,y2),同理得2tx1?2y1?1?0.A(x1,y1),B(x2,y2)2都满足直线方程2tx?2y?1?0.于是直线2tx?2y?1?0过点A,B,而两个不同的点确定一条直线,所以直线AB方程为2tx?2y?1?0.即2tx?(?2y?1)?0,当2t?0,?2y?1?0时等式恒成立。所以直线AB恒过定点(0,).

(2)由(1)得直线AB方程为2tx?2y?1?0,和抛物线方程联立得:

12?2tx?2y?1?0?2化简得x2?2tx?1?0.于是x1?x2?2t,y1?y2?t(x1?x2)?1?2t?1设M为线段AB?12y?x?2?的中点,则M(t,t?)

由于EM?AB,而EM?(t,t2?2),AB与向量(1,t)平行,所以t?t(t?2)?0, 解得t?0或t??1.

当t?0时,EM?(0,?2),EM?2所求圆的方程为x?(y?)?4; 当t??1时,EM?(1,?1)或EM?(?1,?1),EM?所以圆的方程为x?(y?)?4或x?(y?)?2.

【点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题和第二问是求面积类型,属于常规题型,按部就班的求解就可以.思路较为清晰,但计算量不小.

22221252252所求圆的方程为x2?(y?)2?2.

25222522(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分

选修4-4:坐标系与参数方程

22.如图,在极坐标系Ox中,A(2,0),B(2,),C(2,心分别是(1,0),(1,?4??),D(2,?),弧AB,BC,CD所在圆的圆4?2),(1,?),曲线M1是弧AB,曲线M2是弧BC,曲线M3是弧CD.

(1)分别写出M1,M2,M3的极坐标方程;

(2)曲线M由M1,M2,M3构成,若点P在M上,且|OP|?3,求P【答案】(1) ??2cos?(??[0,极坐标.

?3?3?]),??2sin?(??[,]),???2cos?(??[,?]), 4444??2?5?(2) (3,),(3,),(3,),(3,).

3366?【解析】 【分析】

(1)将三个过原点的圆方程列出,注意题中要求的是弧,所以要注意的方程中?的取值范围. (2)根据条件??3逐个方程代入求解,最后解出P点的极坐标.

【详解】(1)由题意得,这三个圆的直径都是2,并且都过原点.

M1:??2cos?(??[0,]),

4???3?3?M2:??2cos(??)?2sin?(??[,]),M3:??2cos(???)??2cos?(??[,?]).

2444(2)解方程2cos??3(??[0,解方程2sin??3(??[?4])得???6,此时P的极坐标为(3,或???6)

?3?44,])得???3?2?2?) ,此时P的极坐标为(3,)或(3,333的5?3?5?,?])得??) ,此时P的极坐标为(3,466??2?5?),(3,). 故P极坐标为(3,),(3,),(3,3366解方程?2cos??3(??[【点睛】此题考查了极坐标中过极点的圆的方程,思考量不高,运算量不大,属于中档题.

选修4-5:不等式选讲

23.设x,y,z?R,且x?y?z?1.

(1)求(x?1)?(y?1)?(z?1)的最小值; (2)若(x?2)?(y?1)?(z?a)?2222221成立,证明:a≤?3或a??1. 3