∴A（﹣1，0），B（3，0） ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3 ∵点D为OC的中点， ∴D（0，）

∴直线BD的解析式为y＝﹣

+，

设P（t，﹣t2+2t+3）（0＜t＜3），则M（t，﹣t+3），N（t，﹣t+），H（t，0） ∴PM＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，MN＝﹣t+3﹣（﹣x+）＝﹣t+，NH＝﹣t+ ∴MN＝NH ∵PM＝MN ∴﹣t2+3t＝﹣t+

解得：t1＝，t2＝3（舍去） ∴P（，

）

），使得PM＝MN＝NH．

∴P的坐标为（，

（3）过点P作PF⊥x轴于F，交直线BD于E ∵OB＝3，OD＝，∠BOD＝90° ∴BD＝∴cos∠OBD＝

＝

∵PQ⊥BD于点Q，PF⊥x轴于点F ∴∠PQE＝∠BQR＝∠PFR＝90° ∴∠PRF+∠OBD＝∠PRF+∠EPQ＝90° ∴∠EPQ＝∠OBD，即cos∠EPQ＝cos∠OBD＝在Rt△PQE中，cos∠EPQ＝

∴PQ＝PE

在Rt△PFR中，cos∠RPF＝∴PR＝

PF

∵S△PQB＝2S△QRB，S△PQB＝BQ?PQ，S△QRB＝BQ?QR ∴PQ＝2QR

设直线BD与抛物线交于点G ∵﹣

+＝﹣x2+2x+3，解得：x1＝3（即点B横坐标），x2＝﹣

∴点G横坐标为﹣

设P（t，﹣t2+2t+3）（t＜3），则E（t，﹣t+）

∴PF＝|﹣t2+2t+3|，PE＝|﹣t2+2t+3﹣（﹣t+）|＝|﹣t2+t+| ①若﹣＜t＜3，则点P在直线BD上方，如图2， ∴PF＝﹣t2+2t+3，PE＝﹣t2+t+ ∵PQ＝2QR ∴PQ＝PR ∴

PE＝?

PF，即6PE＝5PF

∴6（﹣t2+t+）＝5（﹣t2+2t+3） 解得：t1＝2，t2＝3（舍去） ∴P（2，3）

②若﹣1＜t＜﹣，则点P在x轴上方、直线BD下方，如图3， 此时，PQ＜QR，即S△PQB＝2S△QRB不成立． ③若t＜﹣1，则点P在x轴下方，如图4，

∴PF＝﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t﹣3，PE＝﹣t+﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣t﹣ ∵PQ＝2QR ∴PQ＝2PR

∴PE＝2?PF，即2PE＝5PF

∴2（t2﹣t﹣）＝5（t2﹣2t﹣3） 解得：t1＝﹣，t2＝3（舍去） ∴P（﹣，﹣

）

）．

综上所述，点P坐标为（2，3）或（﹣，﹣

【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，解一元二次方程，同角的余角相等，三角函数的应用．第（3）题解题过程容易受第（2）题影响而没有分

类讨论点P的位置，要通过图象发现每种情况下相同的和不同的解题思路．

28．（10分）已知平面图形S，点P、Q是S上任意两点，我们把线段PQ的长度的最大值称为平面图形S的“宽距”．例如，正方形的宽距等于它的对角线的长度． （1）写出下列图形的宽距： ①半径为1的圆： 2 ；

②如图1，上方是半径为1的半圆，下方是正方形的三条边的“窗户形“： 1+ ；

（2）如图2，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0）、B（1，0），C是坐标平面内的点，连接AB、BC、CA所形成的图形为S，记S的宽距为d．

①若d＝2，用直尺和圆规画出点C所在的区域并求它的面积（所在区域用阴影表示）； ②若点C在⊙M上运动，⊙M的半径为1，圆心M在过点（0，2）且与y轴垂直的直线上．对于⊙M上任意点C，都有5≤d≤8，直接写出圆心M的横坐标x的取值范围．

【考点】MR：圆的综合题．

【分析】（1）①平面图形S的“宽距”的定义即可解决问题．

②如图1，正方形ABCD的边长为2，设半圆的圆心为O，点P是⊙O上一点，连接OP，PC，OC．求出PC的最大值即可解决问题．

（2）①如图2﹣1中，连接AB、BC、CA所形成的图形是图中阴影部分S1和S2，点C所在的区域的面积是S1+S2．

②如图2﹣2中，当点M在y轴的右侧时，连接AM，作MT⊥x轴于T．求出d＝5或8时，点M的坐标，即可判断，再根据对称性求出点M在y轴左侧的情形即可． 【解答】解：（1）①半径为1的圆的宽距离为2， 故答案为2．

②如图1，正方形ABCD的边长为2，设半圆的圆心为O，点P是⊙O上一点，连接OP，PC，OC．