高考数学复习选填题专项练习06--抛物线

第I卷（选择题)

一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（2020·广西柳州高级中学高三开学考试（文））若抛物线y?4x上的点M到焦点的距离为10，则M点到y轴的距离是（ ）

A．6 【答案】C 【解析】

【分析】求出抛物线的准线方程，利用抛物线的定义转化求解即可．

B．8

C．9

D．10

2，0?，准线为x??1，由M到焦点的距离为10，可知M到准线的距离【详解】抛物线y?4x的焦点F?12也为10，故到M到的距离是9，故选C．

【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．

2．（2020·湖南高三期末（理））已知抛物线C:y?12x的焦点为F，A为C上一点且在第一象限，以F为圆心，FA为半径的圆交C的准线于B，D两点，且A,F,B三点共线，则|AF|?（ ）

A．16 【答案】C 【解析】

【分析】根据圆的几何性质，结合抛物线的定义，根据F到准线的距离，求得AF. 【详解】因为A,F,B三点共线，所以AB为圆F的直径，AD?BD.由抛物线定义知

B．10

C．12

D．8

21|AD|?2EF?|AF|?|AB|，所以?ABD?30?.因为F到准线的距离为6，所以|AF|?|BF|?2?6?12.

23. （2020·河北高三期末（文））如图为一个抛物线形拱桥，当水面经过抛物线的焦点时，水面的宽度为36m，则此时欲经过桥洞的一艘宽12m的货船，其船体两侧的货物距离水面的最大高度应不超过（ ）

A．6m B．6.5m 【答案】D 【解析】

C．7.5m D．8m

【分析】根据题意,抽象出抛物线的几何模型.根据抛物线的通经性质求得抛物线方程,即可求得当宽为12m时的纵坐标,进而求得水面到顶部的距离.

【详解】根据题意,画出抛物线如下图所示:设宽度为36m时与抛物线的交点分别为A,B.当宽度为12m时与抛物线的交点为C,D.当水面经过抛物线的焦点时,宽度为36m，由抛物线性质可知2p?36,则抛物线方程为x2??36y，则A?18,?9?，当宽度为12m时,设

C?6,a?代入抛物线方程可得62??36a,解得a??1，所以直线AB与直线CD的距离为h???1????9??8，

即船体两侧的货物距离水面的最大高度应不超过8m，故选:D

【点睛】本题考查了抛物线在实际问题中的应用,抛物线几何性质的应用,属于基础题.

4.（2020·辽宁高三期末（理））抛物线C：y?2px?p?0?的焦点为F，过F且斜率为1的直线与C交

2于A，B两点，若AB?8，则p?（ ）

A．【答案】C 【解析】

【分析】设过F且斜率为1的直线方程为y?x?2|AB|?(1?1)??x1?x2??4x1x2?,即可得出p.

??1 2B．1 C．2 D．4

p,与抛物线方程联立可得根与系数关系,再利用弦长公式2p?y?x?p?p22【详解】设过F且斜率为1的直线方程为y?x?,联立?2,化为x?3px??0,

242??y?2px2p2,?设A?x1,y1?,B?x2,y2?,则x1?x2?3p,x1x2?|AB|?(1?1)??x1?x2??4x1x2??29p2?p2?8,解得

??4??p?2.故选:C.

【点睛】本题考查了直线与抛物线相交问题、根与系数、弦长公式,属于中档题.

5. （2019·天水市第一中学高三月考（理））设抛物线C:y?12x的焦点为F，准线为l，点M在C上，

2uuuvuuuuv点N在l上，且FN??FM???0?，若MF?4，则?的值（ ）

A．

3 2B．2

C．

52D．3

【答案】D 【解析】

【分析】过M向准线l作垂线，垂足为M′，根据已知条件，结合抛物线的定义得即可得出结论．

【详解】过M向准线l作垂线，垂足为M′，根据已知条件，结合抛物线的定义得

MM'FF'=

MNNF=

??1，?MM'FF'∴

=

MNNF=

=

??1，又MF?4，∴|MM′|=4，又|FF′|=6， ?MM'FF'4??1=，???3.故选D． 6?【点睛】本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、向量的共线，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

6. （2020·广东高三期末（理））直线过抛物线y?4x的焦点

2且与抛物线交于,两点，若线段

AF,BF的长分别为m,n，则4m?n的最小值是（ ）

A．10 【答案】B 【解析】

【分析】由题意结合抛物线焦点弦的性质结合均值不等式的结论求解4m?n的最小值即可. 【详解】由抛物线焦点弦的性质可知

B．9

C．8

D．7

1124mn4mn?11????1， 则4m?n??4m?n?????5???5?2??9，

mnpnmnm?mn?当且仅当m?3,n?3时等号成立.即4m?n的最小值是9.本题选择B选项. 2【点睛】本题主要考查抛物线焦点弦的性质，基本不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

7.（2020·江西高三期末（理））已知抛物线C:y?4x的焦点F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF2uuuruuur与抛物线C的一个交点，若FP?3FQ，则|QF|的值为（ ）

A．

4 3B．

3 2C．2 D．3

【答案】A

【解析】

【分析】作图，根据抛物线上一点到焦点的距离等于这一点到准线的距离，得到MQ?FQ，再利用

uuuruuurMQ2?，代入FN?2，求解即可. FP?3FQ，得到

FN3【详解】根据题意，如图，y?4x的焦点F(1,0)，准线l：x??1，过点Q作准线l的垂线，并交准线l于

2uuuruuurFPPQ2?3??， 点M，FP?3FQ?FQPF3MQ24?，因为FN?2，所以MQ?， 由相似，

FN33又MQ?FQ，所以FQ?4.故选：A 3【点睛】本题主要考查抛物线的定义，一般和抛物线相关的题，一定考虑抛物线上的点到到焦点的距离等于这一点到准线距离的转化，还考查数形结合和转化的思想，属于基础题. 8．（2020·江西高三期末（文））已知点P?1,???1?2?和抛物线C:x?2y，过抛物线C的焦点且斜率为k的直2?uuuruuurA,B线与C交于两点，若PA?PB，则直线斜率k为（ ）

A．4

【答案】D 【解析】

【分析】由题可先求出焦点坐标为?0,?，可得直线AB的方程，直线与抛物线联立方程组得：

B．3

C．2

D．1

??1?2?2x?2kx?1?0，可得韦达定理，再根据PA?PB结合韦达定理，计算出斜率k.

2uuuruuur【详解】因为抛物线C:x?2y，焦点坐标为?0,?，则过焦点的直线AB的方程为：y?kx?2??1?2?1， 2?x2?2y?2设A?x1,y1?,B?x2,y2?联立?1，消去y得x?2kx?1?0，所以x1?x2?2k,x1x2??1，又因为

?y?kx?2?uuuruuuruuuruuur1??1??x?1,y??x?1,y?，则得PA?PB?0?112??2??0，即?x1?1,kx1?1???x2?1,kx2?1??0 PA?PB22????