的叠加得Q1 、Q3 在点O 的电势

V0?Q14??0d?Q34??0d?Q2??0d

将Q2 从点O 推到无穷远处的过程中，外力作功

W'??Q2V0?Q28??0d

比较上述两种方法，显然用功与电势能变化的关系来求解较为简洁.这是因为在许多实际问题中直接求电场分布困难较大，而求电势分布要简单得多. 5 －26 电荷面密度分别为＋σ和－σ的两块“无限大”均匀带电的平行平板，如图(a)放置，取坐标原点为零电势点，求空间各点的电势分布并画出电势随位置坐标x 变化的关系曲线.

分析 由于“无限大”均匀带电的平行平板电荷分布在“无限”空间，不能采用点电荷电势叠加的方法求电势分布：应该首先由“无限大”均匀带电平板的电场强度叠加求电场强度的分布，然后依照电势的定义式求电势分布.

解 由“无限大” 均匀带电平板的电场强度?分布，

?i，叠加求得电场强度的2?0?0 (x??a)???E??i (?a?x?a)

?2?0??0 (x?a)

电势等于移动单位正电荷到零电势点电场力所作的功

?x (?a?x?a)

x?0-a0?V??E?dl??E?dl?a (x??a)

x-a?0a0?V??E?dl??E?dl??a (x?a)

x-a?0V??E?dl??0电势变化曲线如图(b)所示.

5 －27 两个同心球面的半径分别为R1 和R2 ，各自带有电荷Q1 和Q2 .求：(1) 各区域电势分布，并画出分布曲线；(2) 两球面间的电势差为多少？

分析 通常可采用两种方法(1) 由于电荷均匀分布在球面上，电场分布也具有球对称性，因此，可根据电势与电场强度的积分关系求电势.取同心球面为高斯面，借助高斯定理可求得各区域的电场强度分布，再由

Vp??E?dl可求得电势分布.(2) 利用电势叠加原理求电势.一个均匀带

p?电的球面，在球面外产生的电势为

V?Q4??0rQ4??0R

在球面内电场强度为零，电势处处相等，等于球面的电势

V?

其中R 是球面的半径.根据上述分析，利用电势叠加原理，将两个球面在各区域产生的电势叠加，可求得电势的分布. 解1 (1) 由高斯定理可求得电场分布

E1?0 (r?R1)E2?E3?由电势V?Q14??0r2er (R1?r?R2)

Q1?Q2e (r?R2)2r4??0r??rE?dl 可求得各区域的电势分布.

V1??E1?dl??E2?dl??E3?dlrR1R2R1R2?当r≤R1 时，有

?????0??????当R1 ≤r≤R2 时，有

Q11Q?Q21[?]?14??0R1R24??0R2?Q24??0R2?

Q14??0R1R2V2??E2?dl??E3?dlrR2????=?????当r≥R2 时，有

Q111Q?Q2[?]?1 4??0rR24??0R2Q14??0r??Q24??0R2V3??E3?dl?rQ1?Q2

4??0r(2) 两个球面间的电势差

U12??E2?dl?R1R2Q1?11???? 4??0?R1R2?解2 (1) 由各球面电势的叠加计算电势分布.若该点位于两个球面内，即r≤R1 ，则

V1?Q14??0R1Q14??0r?Q24??0R2Q24??0R2

若该点位于两个球面之间，即R1 ≤r≤R2 ，则

V2??

若该点位于两个球面之外，即r≥R2 ，则

V3?(2) 两个球面间的电势差

Q1?Q2

4??0rQ14??0R1?Q14??0R2

U12?(V1?V2)r?R?25 －28 一半径为R 的无限长带电细棒，其内部的电荷均匀分布，电荷的体密度为ρ.现取棒表面为零电势，求空间电势分布并画出分布曲线.

分析 无限长均匀带电细棒电荷分布呈轴对称，其电场和电势的分布也呈轴对称.选取同轴柱面为高斯面，利用高斯定理

??E?dS?a1?0b?VdV

可求得电场分布E(r)，再根据电势差的定义

Va-Vb??E(r)?dl

并取棒表面为零电势(Vb ＝0)，即可得空间任意点a 的电势.

解 取高度为l、半径为r 且与带电棒同轴的圆柱面为高斯面，由高斯定理 当r≤R 时

E?2?rl??r2l?/?0

?r得 E(r)=

2?0当r≥R 时

E?2?rl??R2l?/?0

?R2得 E(r)=

2?0r取棒表面为零电势，空间电势的分布有 当r≤R 时