分析 通常有两种处理方法：(1) 利用高斯定理求球内外的电场分布.由题意知电荷呈球对称分布，因而电场分布也是球对称，选择与带电球体同心的球面为高斯面，在球面上电场强度大小为常量，且方向垂直于球面，因

??2E?ds?E?4??r而有?s ??1??dV，可解得电场强度根据高斯定理?E?dS?s?0V的分布.

(2) 利用带电球壳电场叠加的方法求球内外的电场分布.将带电球分割成无数个同心带电球壳，球壳带电荷为，

?dE?0，而在球壳外激发的电场

?dq?dE?er 24??0rdq???4?r/2dr/每个带电球壳在壳内激发的电场

由电场叠加可解得带电球体内外的电场分布

??rE(r)??dE0 0?r?R

??RE(r)??dE r?R

0

解1 因电荷分布和电场分布均为球对称，球面上各点电

??1场强度的大小为常量，由高斯定理?sE?dS??V?dV得

?0球体内(0≤r≤R)

?k4E(r)4?r??kr?4?rdr?r

?00?021r2

2?kr?E(r)?er4?0

球体外(r ＞R)

?00?kR4?E(r)?e2r

4?0rE(r)4?r?21?R?k4kr?4?rdr?R?0

2

解2 将带电球分割成球壳，球壳带电

dq???4?r/2dr/

由上述分析，球体内(0≤r≤R)

?r1kr/4?r/2dr/?kr2?E(r)??er?er 204??0r4?0

球体外(r ＞R)

?R1kr/4?r/2dr/?kR4?E(r)??er?er 2204??r4?0r0

5 －18 一无限大均匀带电薄平板，电荷面密度为σ，在平板中部有一半径为r 的小圆孔.求圆孔中心轴线上与平板相距为x 的一点P 的电场强度.

分析 用补偿法求解利用高斯定理求解电场强度只适用于几种非常特殊的对称性电场.本题的电场分布虽然不具有这样的对称性，但可以利用具有对称性的无限大带电平面和带电圆盘的电场叠加，求出电场的分布.若把小圆孔看作由等量的正、负电荷重叠而成，挖去圆孔的带电平板等效于一个完整的带电平板和一个带相反电荷(电荷面密度σ′＝－σ)的小圆盘.这样中心轴线上的电场强度等效于平板和小圆盘各自独立在该处激发电场的矢量和.

解 由教材中第5 －4 节例4 可知，在无限大带电平面附近

E1??en 2?0en为沿平面外法线的单位矢量；圆盘激发的电场

???xE2??1???en 222?0?x?r?

它们的合电场强度为

E?E1?E2??2?0xx?r22en

在圆孔中心处x ＝0，则

E ＝0

在距离圆孔较远时x ＞＞r，则

?1en2?01?r2/x2

???????en2?0E?上述结果表明，在x ＞＞r 时，带电平板上小圆孔对电场分布的影响可以忽略不计.

5 －19 在电荷体密度为ρ 的均匀带电球体中，存在一个球形空腔，若将带电体球心O 指向球形空腔球心O′的矢量用a 表示(如图所示).试证明球形空腔中任一点的电场强度为

E??a 3?0

分析 本题带电体的电荷分布不满足球对称，其电场分布也不是球对称分布，因此无法直接利用高斯定理求电场的分布，但可用补偿法求解.挖去球形空腔的带电球体在电学上等效于一个完整的、电荷体密度为ρ 的均匀带电球和一个电荷体密度为－ρ、球心在O′的带电小球体(半径等于空腔球体的半径).大小球体在空腔内P 点产生的