E?1Q
???0r4r2?L2若棒为无限长(即L→∞)，试将结果与无限长均匀带电直线的电场强度相比较.
分析 这是计算连续分布电荷的电场强度.此时棒的长度不能忽略，因而不能将棒当作点电荷处理.但带电细棒上的电荷可看作均匀分布在一维的长直线上.如图所示，在长直线上任意取一线元dx，其电荷为dq ＝Qdx/L，它在点P 的电场强度为
dE?整个带电体在点P 的电场强度
1dqer
???0r?2E??dE
接着针对具体问题来处理这个矢量积分.
(1) 若点P 在棒的延长线上，带电棒上各电荷元在点P 的电场强度方向相同，
E??dEi
L(2) 若点P 在棒的垂直平分线上，如图(A)所示，则电场强度E 沿x 轴方向的分量因对称性叠加为零，因此，点P 的电场强度就是
E??dEyj=?sin?dEj
L证 (1) 延长线上一点P 的电场强度E?r －x统一积分变量，则
dq利用几何关系 r′＝?L???0r?2，
EP??1QdxQ?11?1Q???222?L/24??4??0L??r?L/2r?L/2????04r?L0L?r?x?L/2电场强度的方向沿x 轴.
(2) 根据以上分析，中垂线上一点P 的电场强度E 的方向沿y 轴，大小为
E=?L/2sin?dqdE
L???r?201L?4r22利用几何关系 sin α＝r/r′，r??r2?x2 统一积分变量，则
E??1rQdxQ??L/24??222/32??0r0L?x?r? 当棒长L→∞时，若棒单位长度所带电荷λ为常量，则P 点电场强度
E?lim =1Q/Ll??2??r1?4r2/L20????0r
此结果与无限长带电直线周围的电场强度分布相同［图(B)］.这说明只要满足r2/L2 ＜＜1，带电长直细棒可视为无限长带电直线.
5 －10 一半径为R 的半球壳，均匀地带有电荷，电荷面密度为σ，求球心处电场强度的大小.
分析 这仍是一个连续带电体问题，求解的关键在于如何取电荷元.现将半球壳分割为一组平行的细圆环，如图所示，从教材第5 －3 节的例1 可以看出，所有平行圆环在轴线上P 处的电场强度方向都相同，将所有带电圆
环的电场强度积分，即可求得球心O 处的电场强度. 解 将半球壳分割为一组平行细圆环，任一个圆环所带电荷元
dq??dS???2?R2sin?d?，在点O 激发的电场强度为
1xdq dE?4??0(x2?r2)32由于平行细圆环在点O 激发的电场强度方向相同，利用几何关系
x?Rcos?，r?Rsin?统一积分变量，有
1xdq1Rcos?2dE????2?Rsin?d?2/33224??0x?r4??0R???sin?cos?d?2?0?????积分得 E?? sin?cos?d??02?4?00 =
5 －14 设匀强电场的电场强度E 与半径为R 的半球面的对称轴平行，试计算通过此半球面的电场强度通量.
分析 方法1：由电场强度通量的定义，对半球面S 求积分，即
?s??E?dS
S方法2：作半径为R 的平面S′与半球面S 一起可构成闭合曲面，由于闭合面内无电荷，由高斯定理
??E?dS?1S?0?q?0
这表明穿过闭合曲面的净通量为零，穿入平面S′的电场强度通量在数值上
等于穿出半球面S 的电场强度通量.因而
???E?dS???E?dS
SS?解1 由于闭合曲面内无电荷分布，根据高斯定理，有
???E?dS???E?dS
SS?依照约定取闭合曲面的外法线方向为面元dS 的方向，
???E??R2?cos???R2E
解2 取球坐标系，电场强度矢量和面元在球坐标系中可表示为①
E?E?cos?e??sin?cos?e??sin?sin?er?
dS=R2sin?d?d?er
22???E?dS?ERsin?sin?d?d???SS??????ER2sin2?d??sin?d?00??
??????R2E5 －16 地球周围的大气犹如一部大电机，由于雷雨云和大气气流的作用，在晴天区域，大气电离层总是带有大量的正电荷，云层下地球表面必然带
m ，方向指向地面.试有负电荷.晴天大气电场平均电场强度约为120V?求地球表面单位面积所带的电荷(以每平方厘米的电子数表示). 分析 考虑到地球表面的电场强度指向地球球心，在大气层中取与地球同心的球面为高斯面，利用高斯定理可求得高斯面内的净电荷.
解 在大气层临近地球表面处取与地球表面同心的球面为高斯面，其半径
-1R?RE (RE为地球平均半径).由高斯定理
2E?dS??E4?R?E??1?0?q
地球表面电荷面密度
2???q/4?RE???0E??1.06?10?9C?m?2
单位面积额外电子数
n??/?e?6.63?105cm?2
5 －17 设在半径为R 的球体内，其电荷为球对称分布，电荷体密度为
??kr?????(0?r?R)
??0??????????(r?R)k为一常量.试分别用高斯定理和电场叠加原理求电场强度E与r的函数关系.