。 。 。 。 。 。 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 §2.5 指数与指数函数
考纲展示? 1.了解指数函数模型的实际背景．
2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．
3．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点． 4．知道指数函数是一类重要的函数模型．
考点1 指数幂的化简与求值
1.根式 (1)根式的概念
若________，则x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N.式子a叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
(2)a的n次方根的表示
*
n?x＝na当n为奇数且n∈N时，
x＝a??
?x＝±na当n为偶数且n∈N时
*
n*
答案：(1)x＝a 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念
n①正分数指数幂：a ＝________(a＞0，m，n∈N，且n＞1)；
－
②负分数指数幂：amn*
mn ＝________＝________(a＞0，m，n∈N，且n＞1)；
*
- 1 -
③0的正分数指数幂等于________，0的负分数指数幂________． (2)有理数指数幂的性质
①aa＝________(a＞0，r，s∈Q)； ②(a)＝________(a＞0，r，s∈Q)； ③(ab)＝________(a＞0，b＞0，r∈Q)． 答案：(1)①a ②
rrsrsnm1
m na
rr 1
③0 无意义
nam(2)①ar＋s ②a ③ab
rs
(1)[教材习题改编]若x＋x＝5，则x－x＝________. 答案：±521
解析：把x＋x＝5两边平方，可得x＋x＝23，所以(x－x)＝x－2＋x＝21，所以
－1
2
－2
－12
2
－2
－1
2
－2
x－x－1＝±21，所以x2－x－2＝(x＋x－1)(x－x－1)＝±521.
33
11 －
22 －
22x ＋x ＋2
(2)[教材习题改编]若x ＋x ＝3，则＝________.
x2＋x－2＋32答案： 5
1111 － －22222
解析：由x ＋x ＝3，得(x ＋x )＝9， 即x＋x＝7. 3－2
x ＋x ＋2
＝
x2＋x－2＋3 ＝202＝. 50532
11
－22x ＋x
x＋x－1
－1
x＋x－1－
2
＋2
－2＋3
根式化简与指数运算的误区：混淆“a”与“(a)”；误用性质． (1)
4
nnnna－b4
＝__________；
- 2 -
??a－b答案：|a－b|＝?
?b－a?
a≥b，a
解析：
4
a－b4
??a－b＝|a－b|＝?
?b－a?
a≥b，a
1
260
(2)化简[(－2)] －(－1)的结果为________． 答案：7
11 22606
解析：[(－2)] －(－1)＝(2) －1＝8－1＝7.
[典题1] 化简下列各式：
12 335－2.530
(1)[(0.064 )] －3－π；
8
4 3
1 3
32?－ 2?3a×a32b?×÷?.
?52?a －
a? ?33
(2)
a －8a b
2
33
4b ＋2ab＋a
a×a
15? 2? 1?－ ?3??27?3?2 ??【解】 (1)原式＝??64?5? －1 ? －?8?????1 000? ????????
- 3 -
1521×(－)×
23??3?3?3??4?3?5
＝???? －???? －1 ??10????2??53＝－－1 22＝0.
1 3a 1 3a
2
(2)原式＝
a
1 3
1 3
3
＋a
－b 1 3
b ＋
13
3
]
2
1 3b
÷
1 3
a －2b
13
a×
12
a×a
111 235a ×a
111 333
＝a (a －2b )×
5 126
33aa 2
×＝a ×a×a ＝a.
111 336a －2b a
2 3
[点石成金] 1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序．
2．当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．
3．运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
考点2 指数函数的图象及应用
指数函数的图象与性质