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把尺度参数a和平移参数b的离散化，公式为：a?a0j，b?ka0jb0，（j,k?Z），a0为扩展步长，且a0?1是固定值，对应的离散小波函数?j,k(t)可写作：
?j,k(t)?a0??j/2?t?ka0jb0??j/2?j????a0?(a0t?kb0) (3-4) j?a0?Cj,k????j,k(t)dt?f,?j,k (3-5)
??式(3-5)为离散化小波变换的系数的求解公式。 3、离散的小波分解
1988年受塔式算法的启发，Mallat[9]在多分辨率分析的指导下建立了Mallat算法（又称快速小波变换），该算法本质上不需要知道尺度函数?(t)和小波函数?(t)的具体结构，只由系数hn和gn就可以实现信号的分解与重构。
输入信号S进行一次离散的小波分解可以将S分为两部分：细节分量CD和近似分量CA。近似分量主要是信号全局的、低频的部分，而细节分量往往是信号局部、高频成分。高频部分和低频部分又可以恢复信号的全部信息。对于音频信号低频部分很重要，给出了信号的特征，高频部分与噪音及扰动联系在一起，即使将信号的高频部分去掉，信号的基本特征任然可以保留。对音频信号的离散小波分解过程可以反复进行，得到的小波分解树如下：
CA1 CA2 CD1 S CD2
图3-1 小波分解（wavedet）
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L' H' S H' L' 图3-2 小波重构（waveret）
3.1.2 离散的余弦变换
1974年Ahmed和Rao等人[10]提出了离散的余弦变换（DCT），是与傅里叶变换相关的一种变换。使用DCT方法嵌入水印，在鲁棒性和不可感知性之间取得了比较好的平衡。该变换是把n个实数x(0),x(1),?x(n)变换到另外n个实数
D0,D1,?,Dn?1的操作，公式如下：
Dm??x(k)cos[(k?0.5)m],m?0,1,2?n?1 (3-6)
k?0n?1?n其反变换（IDCT）的公式为：
x(n)?12N1?1(2n?1)k? (3-7) X(0)?X(k)cos?N1N1k?12N1式（3-7）中，n?1,2,?,N1?1
3.2 图像的置乱与加密技术
3.2.1 图像的Arnold置乱及其恢复
置乱[11]就是运用一定的算法搅乱图像中各像素的位置，使之成为一幅杂乱无章的图像，来隐藏图像的真实信息。在数字水印的研究领域，一般用直观的图像水印代表版权信息，在水印的预处理期间，通过置乱来消除图像各像素之间的关联性，来加密水印图像。
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Arnold变换是V.J.Arnold 提出的一种变换，定义如下[12]：
?x???11??x? ??y?????12??y?(modN)??????x,y?{0,1,?,N?1} (3-8)
其中，(x,y)是原图像中像素的坐标，(x?,y?)是变换后该像素的坐标，N是图像矩阵的阶数,即图像的大小。
Arnold变换可以看作是裁剪和拼接的过程，使图像矩阵中的像素重新排列，达到置乱的目的。又由于离散数字图像是有限点集，反复对图像进行Arnold变换，迭代到一定步数时，必然会恢复原图，所以Arnold变换具有周期性，利用此周期特性可以实现逆置乱恢复原始图像。如：用m代表N?N的数字图像的Arnold变换周期，对一幅图像进行t次(t??1,m?)Arnold置乱变换，则只要对其继续进行(m?t)次Arnold置乱即可恢复原图。下面以标有“西北民大”字样的图片(64?64)为例来说明Arnold置乱的周期性（周期为48）。
图 3-3 置乱图像
不同阶数N下Arnold变换的周期是不一样的，Arnold变换的周期性与
图像大小有关，但并不成正比。不同阶数N下Arnold变换的周期如下表：
表格 1 Arnold变换的周期
N 周期 N 周期 2 3 12 12 3 4 25 50 4 3 50 150 5 10 64 48 6 12 100 150 11
7 8 120 60 8 6 125 250 9 12 256 192 10 30 512 384 西北民族大学电气工程学院电子信息工程(1)班
3.2.2 混沌序列的产生
混沌序列是一种纯伪随机序列，它具有对初始条件敏感、算法简单、白噪声的统计特性，能够满足数字水印技术秘密性和宽频谱的要求，因此目前常用混沌序列来加密水印图像。本文利用混合光学双稳模型生成混沌序列，它的迭代方程为[13]：
xn?1?Asin2(xn?B) （3-9） 只要设定初值x0，根据上述方程进行迭代运算就可以生成一个混沌序列。其中A和B为方程的系数，当A=4,B=2.5时方程处于混沌状态，初值x0理论上可以选取一切非负实数。
3.2.3 混合光学双稳模型加密水印图像
根据方程(3-9)，选取初值x0?100、A=4、B=2.5进行迭代运算，生成一组随机序列?Xn?，它的长度L满足：L?M1?M2(M1和M2分别为水印图像的高
??，度和宽度)，然后选取?Xn?中长度为M1?M2的部分序列?Xn在本文起点设在
'??转化为混沌二值序列,若xn第5001点上，最后将序列?Xn?AB3,取Yn=1,否则
取0,得到一组伪随机序列?Yn?。
Yn?进行异或运算就生将水印图像(M1?M2)降维成一维序列?Wn?，?Wn?与?成了加密水印序列?Zn?。在水印的提取检测时根据信息置乱算法，把提取的加密水印序列{Zn?}与?Yn?再次进行异或运算即可恢复出原始水印序列?Wn?。
信息置乱算法的举例：设A={0010?},B={0001?},xor为异或运算符，
?}；反过来C xor B=A。本文中原始的水印图像和加密A xor B?C则C?{0011的水印图像如下：
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