第十一讲 简单的行程问题

编写说明

行程问题是三年级学生在奥数学习时第一次接触，但基本的“路程=速度×时间，速度=路程÷时间，时间=路程÷速度”学生在学校已经学过，所以我们介绍简单的相遇问题（两人单次直线相遇，其余问题我们会在以后的课程中介绍），主要让学生理解并掌握“路程和=速度和×时间”，学会画线段图解行程问题（每一题都可画线段图，由于篇幅有限没有一一画出，请老师在讲课时画图帮助学生直观理解）.

热身训练

1. 小黑上学时骑车，回家时步行，路上共用50分钟，如果往返都步行，则全程需要70分钟.求往返都骑车所需的时间.

分析：一个单程步行比骑车多用70-50=20（分钟），骑车单程（50-20）÷2=15（分钟），往返骑车的时间15×2=30（分钟）.

2. 龟兔赛跑，同时出发，全程7000米，龟每分钟爬30米，兔每分钟跑330米，兔跑了10分钟就停下来睡了215分钟，醒来后立即以原速往前跑，问龟和兔谁先到达终点？先到的比后到的快多少米？

分析：先算出兔子跑了330×10=3300，乌龟跑了30×（215+10）=6750，此时乌龟只余下7000—6750=250，乌龟还需要250÷30=811分钟到达终点，兔子在这段时间内跑了8×330=2750，所以乌龟一共跑了333300+2750=6050.所以乌龟先到，快了7000—6050=950.

例题精讲

【例1】 甲、乙两车同时从A、B两城相对开出，甲车的速度是54千米/时，乙车的速度是53千米/时，经5小时相遇，A、B两城间距离多少千米？

分析：（法1）如图，A、B两城间距离=甲车所走的路程+乙车所走的路程=甲车的速度×甲车所用的时间+乙车的速度×乙车所用的时间=54×5+53×5=535（千米）.

（法2）我们来看上面的式子，可以把公因子5提出来

即54×5+53×5=（54+53）×5=535（千米），这样我们就得出A、B两城间距离=甲乙两车的速度和×相遇时间.

【例2】 胖胖和瘦瘦两家相距255千米，两人同时骑车从家出发相对而行，胖胖每小时行45千米，瘦瘦每小时行40千米.两人相遇时，胖胖和瘦瘦各行了多少千米？

分析：255÷（45+40）=3（小时）.胖胖：45×3=135（千米），瘦瘦：40×3=120（千米）.

【例3】 孙悟空在花果山，猪八戒在高老庄，花果山和高老庄中间有条流沙河，一天，他们约好在流沙河见面，孙悟空的速度是200千米／小时．猪八戒的速度是150千米／小时，他们同时出发2小时后还相距500千米，则花果山和高老庄之间的距离是多少千米？

分析：建议教师画线段图.我们可以先求出2小时孙悟空和猪八戒走的路程：(200+150)×2=700(千米)，又因为还差500千米，所以花果山和高老庄之间的距离：700+500=1200(千米).

【例4】 甲、乙两车分别从相距２４０千米的Ａ、Ｂ两城同时出发，相对而行，已知甲车到达Ｂ城需４小时，乙车到达Ａ城需６小时，问：两车出发后多长时间相遇？

分析：２４０÷（２４０÷４+２４０÷６）＝２.４（小时）.

【例5】 A、B两地相距90米，遥控摩托车从A地到B地需要30秒，遥控小汽车从B地到A地需要15秒，现在遥控摩托车和遥控小汽车从A、B两地同时相向而行，相遇时遥控摩托车与B地的距离是多少米？

分析：遥控摩托车的速度：90÷30=3(米／秒)，遥控小汽车的速度：90÷15=6(米／秒)，

相遇的时间：90÷(3+6)=10(秒)，遥控摩托车距B地的距离：90—3×10=60(米).

【例6】 南辕与北辙两位先生对于自己的目的地S城的方向各执一词，于是两人都按照自己的想法驾车分别往南和往北驶去，南辕先生出发2小时后北辙先生才出发，二人的速度分别为50千米/时，60千米/时，那么北辙先生出发5小时他们相距多少千米?

分析：两人虽然不是相对而行，但是题目要求的仍是路程和.50×2+（50+60）×5=650（千米）.

【例7】 甲、乙两辆汽车分别从A、B两地出发相对而行，甲车先行1小时，甲车每小时行48千米，乙车每小时行5O千米，5小时相遇，求A、B两地间的距离.

分析：这题不同的是两车不“同时”.（法1 ）求A、B两地间的路程就是求甲、乙两车所行的路程和.这样可以充分别求出甲车、乙车所行的路程，再把两部分合起来.48×（1＋5）＝288（千米），5O×5＝25O（千米），288＋25O＝538（千米）.

（法2 ）还可以先求出甲、乙两车5小时所行的路程和，再加上甲车1小时所行的路程.（48＋5O）×5＝49O（千米），49O＋48＝538（千米）.

【例8】 蜡笔小新从家出发去超市找妈妈，小新妈妈从超市回家，他们同时出发，小新每分钟走45米，小新妈妈每分钟走65米，他们在离中点60米的地方相遇了，求小新家到超市的距离是多少米?

分析：路程差：60×2=120(米)，速度差：65—45=20(米／分钟)，相遇所用的时间：120÷20=6(分钟)，家到超市的距离：(45+65)×6=660(米).

附加内容

【附1】 大头儿子的家距离学校3000米，小头爸爸从家去学校，大头儿子从学校回家，他们同时出发，小头爸爸每分钟比大头儿子多走24米，50分钟后两人相遇，那么大头儿子的速度是每分钟走多少米？

分析：大头儿子和小头爸爸的速度和：3000÷50=60(米／分钟)，小头爸爸的速度：(60+24)÷2=42(米／分钟)，大头儿子的速度：60—42=18(米／分钟).

【附2】 甲、乙两人从A、B两地同时出发，相对而行.如果两人按原来的速度前进，那么4小时后相遇；如果两人各自都比原定速度提高1千米／小时，那么他们经过3小时就相遇，则A、B两地的距离是多少千米？

分析：加速后3小时多走了2×3=6(千米)，这正好是加速前第四小时走的路程，所以按原速度两人1小时共走6千米，A、B两地相距6×4=24(千米).

练习十一

1. 一辆客车与一辆货车同时从甲、乙两个城市相对开出，客车每小时行45千米，货车每小时行55千米.6小时两车相遇.甲、乙两个城市的路程是多少千米？ 解：（45+55）×6=600（千米）.

2. 两地间的路程有360千米，两辆汽车同时从两地相对开出，甲车每小时行50千米，乙车每小时行40千米.甲、乙两车相遇时，各行了多少千米？

解：360÷（50+40）=4（小时），甲：50×4=200（千米），乙：40×4=160（千米）.

3. 两辆汽车同时从A、B两地相对开出，甲车每小时行50千米，乙车每小时行60千米，5小时后还相距20千米.求A、B两地间的距离. 解：（50+60）×5+20=570（千米）.

4. 甲、乙两辆汽车分别从A、B两地出发相对而行，甲车先行1小时，甲车每小时行45千米，乙车每小时行5O千米，2小时相遇.求A、B两地间的距离.

解： （法1）45+（45+50）×2=235（千米）；

（法2）45×（1+2）+50×2=235（千米）.

5. 甲、乙两车同时从一点出发相背而行，甲每小时行60千米，乙每小时行65千米，4小时后两车相距多少千米？ 解：（60+65）×4=500（千米）.

数学笑话

两个饭桶

某老师讲课，第一节课教“1+1等于几？”.讲了很久，孩子们都没听懂，她就叫一名男孩站上来，问：“一个中国加一个湖南等于几？”男孩莫名其妙答不出来.女教师操起教鞭狠敲讲台，提高声音：“1根教鞭加1张讲台等于几？” 男孩依旧答不出.此时女教师用教鞭敲了他的脑壳一下：“饭桶，我加你等于几啊？男孩立时醒悟了，道：“两个饭桶.”