第5讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用 下载本文

又OA=1,OB=2,所以AB2=12+22-2×1×2cos=7,

3即A,B两点间的距离为7.

π

2t+?,y2=-2sin 2t, (2)依题意,y1=sin?3??

ππ33

2t+?-2sin 2t=cos 2t-sin 2t=3cos?2t+?, 所以y=sin?3?3???22π

2t+?(t>0), 即函数关系式为y=3cos?3??

ππ1πππ4π

0,?时,2t+∈?,?,所以cos?2t+?∈?-1,?,故当t∈?0,?时,y∈当t∈?3??2??2???2?3?33?

?-3,3?. 2??

三角函数模型在实际应用中体现的两个方面

(1)已知函数模型,利用三角函数的有关性质解决问题,其关键是准确理解自变量的意义及自变量与因变量之间的对应法则;

(2)需要建立精确的或者数据拟合的模型去解决问题,尤其是利用已知数据建立拟合函数解决实际问题,此类问题体现了数学建模核心素养,考查应用意识.

某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t(单位:h)的变化近似满足函数

关系:f(t)=10-3cosππ

t-sin t,t∈[0,24),则实验室这一天的最大温差为________℃. 1212

3π1π?

cost+sint ?212212?

解析:因为f(t)=10-2?

ππ

t+?,又0≤t<24, =10-2sin??123?πππ7π

所以≤t+<,

31233ππ

t+?≤1. 所以-1≤sin??123?ππ

t+?=1; 当t=2时,sin??123?ππ

t+?=-1. 当t=14时,sin??123?于是f(t)在[0,24)上的最大值为12,最小值为8.

故实验室这一天最高温度为12 ℃,最低温度为8 ℃,最大温差为4 ℃.

答案:4

[基础题组练]

ππ

2x-?在区间?-,π?上的简图是( ) 1.函数y=sin?3???2?

πππ3π

-?=-,排除B,D.令x=,得y=sin?2×-?解析:选A.令x=0,得y=sin??3??63?26=0,排除C.

π?π

2.函数f(x)=tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y=2所得线段长为,则f??6?的值2是( )

A.-3 C.1

B.

3

3

D.3

π?πππ

解析:选D.由题意可知该函数的周期为,所以=,ω=2,f(x)=tan 2x,所以f??6?2ω2π

=tan=3.

3

A

3.已知函数f(x)=Asin ωx(A>0,ω>0)与g(x)=cos ωx的部分图象如图所示,则( )

2

A.A=1 π

C.ω=

3

B.A=3 3

D.ω= π

AA

解析:选C.由题图可得过点(0,1)的图象对应的函数解析式为g(x)=cos ωx,即=1,

22

2ππ

A=2.过原点的图象对应函数f(x)=Asin ωx.由f(x)的图象可知,T==1.5×4,可得ω=. ω3

π

2x+?的图象,只需将函数y=sin 2x4.(2020·福建五校第二次联考)为得到函数y=cos?3??的图象( )

A.向右平移个单位长度

125π

B.向左平移个单位长度

125π

C.向右平移个单位长度

65π

D.向左平移个单位长度

6

ππ-2x?=cos?2x-?, 解析:选B.因为y=sin 2x=cos?2??2??

5πππ5π

2x+?=cos?2?x+12?-?,y=cos?所以将函数y=sin 2x的图象向左平移个单位长度3??2????12π

2x+?的图象.故选B. 可得到函数y=cos?3??

ωx+?(ω>0)的最小正周期为4π,则下列叙述中正确的是5.(多选)已知函数f(x)=cos?3??( )

π

A.函数f(x)的图象关于直线x=对称

3B.函数f(x)在区间(0,π)上单调递增

π

C.函数f(x)的图象向右平移个单位长度后关于原点对称

31

D.函数f(x)在区间[0,π]上的最大值为- 2

12π?π2π15πx+.因为f??=cos≠±解析:选CD.由题意知=4π,则ω=,所以f(x)=cos??23??3?ω26π

1,所以直线x=不是f(x)图象的对称轴,A错误;

3

12π2π7π?12π2π1

,,当x+∈?,π?时,f(x)单调递减;当x因为x∈(0,π),所以x+∈??23?36?23?327π2π2π1

π,?时,f(x)单调递增,所以f(x)在[0,π]上的最大值为cos=-,B错误,D+∈?6?3?32π2π1π

x-?+?正确;f(x)的图象向右平移个单位长度后得到图象的函数解析式为g(x)=cos?2?3??3?3?1π?1

x+=-sinx,是奇函数,图象关于原点对称,C正确. =cos??22?2

π

6.将函数y=sin x的图象上所有的点向右平移个单位长度,再把所得各点的横坐标

10伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是________.

π

解析:y=sin x向右平移10个单位长度y=

—————→

π横坐标伸长到?1x-π?. x-?―sin?―→y=sin?10?原来的2倍?210?1π

x-? 答案:y=sin??210?

ππ

2x-?的图7.函数y=cos(2x+φ)(0<φ<π)的图象向右平移个单位后,与函数y=sin?3??2象重合,则φ=________.

π

解析:把函数y=cos (2x+φ)(0<φ<π)的图象向右平移个单位后,得到y=cos (2x-π

2+φ)的图象,

ππ2x-?的图象重合,则cos (2x-π+φ)=sin?2x-?, 与函数y=sin?3?3???ππ

2x-+φ?=sin?2x-?, 即sin?23????πππ所以-+φ=-,则φ=,

236π答案:

6

π

ω>0,|φ|<?的部分图象如图所示,则ω=________,8.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)?2??函数f(x)的单调递增区间为________.

ππTπ2π

-?=,解析:由图象知=-?则周期T=π,即=π,则ω=2,f(x)=2sin(2x+φ).由

23?6?2ωπππππ-?+φ=2kπ,又|φ|<,所以φ=,则f(x)=2sin?2x+?.令2kπ-≤2x五点对应法得2×?3??6??232ππ5ππ

+≤2kπ+,k∈Z,得-+kπ≤x≤kπ+,k∈Z,即函数f(x)的单调递增区间为321212

?-5π+kπ,π+kπ?,k∈Z.

12?12?