2）使用迭代法xk?12?exk2?e02?e0.1??0.1，x2??0.0894829， ，则x1?1010102?e0.08948292?e0.0906391x3??0.0906391，x4??0.0905126， 1010即x*?x4?0.0905126，共迭代4次。 4. 给定函数f(x)，设对一切x，f?(x)存在且0?m?f?(x)?M，证明对于范围0???2/M内的任意定数?，迭代过程xk?1?xk??f(xk)均收敛于f(x)?0的根x*。 [证明]由xk?1?xk??f(xk)可知，令?(x)?x??f(x)，则??(x)?1??f?(x)，又因为0?m?f?(x)?M，0???格式收敛。 5.用斯特芬森迭代法计算第2题中（2）和（3）的近似根，精确到10?5。 斯特芬森迭代法是一种加速的方法。是埃特金加速方法与不动点迭代结合。 6.设?(x)?x?p(x)f(x)?q(x)f2(x) ，试确定函数p(x)和q(x)，使求解f(x)?0且以?(x)为迭代函数的迭代法至少三阶收敛。 2，所以1???(x)??1，即??(x)?1，从而迭代M7. 用下列方法求f(x)?x3?3x?1?0在x0?2附近的根。根的准确值x*?1.87938524?，要求计算结果准确到四位有效数字。 （1）牛顿法 （2）弦截法，取x0?2,x1?1.9 （3）抛物线法，取x0?1,x1?3,x2?2 [解]1）xk?133f(xk)xk?3xk?12xk?1，x0?2， ?xk??xk??22f?(xk)3xk?33xk?3172()3?1105552?2?1179x???1.87945，迭代停止。 x1???1.888889，221756163?2?393()2?393xk?1?xk?2）?xk?f(xk)(xk?xk?1)f(xk)?f(xk?1)3kx?3xk?1xkxk?1(xk?xk?1)?1(x?x)?kk?13322(xk?3xk?1)?(xk?3x?1)xk?xkxk?1?xk?1k?1?1?31.9?2?(1.9?2)?115.821582???1.881094 228411.9?1.9?2?2?38.41x0?2，，x1?1.9，x2?15821582?1.9?(?1.9)?1841x3?841158221582()??1.9?1.92?3，迭代停止。 8418419558143.42?84121026542442???1.879411225462043211582?1582?1.9?841?0.61?8413）xk?1?xk?f(xk)????4f(xk)f[xk,xk?1,xk?2]2，其中 ??f[xk,xk?1]?f[xk,xk?1,xk?2](xk?xk?1)，x0?1,x1?3,x2?2，故 f(x0)??3，f(x1)?17，f(x2)?1，f[x0,x1]?f(x1)?f(x0)17?(?3)??10， x1?x03?1f[x2,x1]?f(x2)?f(x1)1?17??16， x2?x12?3f[x1,x2]?f[x0,x1]16?10??6，??16?6(2?3)?10， x2?x02?11?2?110?76?1.9465745，下略。 f[x0,x1,x2]?x3?2?10?10?4?1?628. 分别用二分法和牛顿法求x?tanx?0的最小正根。 ?解：0是函数的一个根，0～时，x单调递增，tanx单调递减，趋于负无穷。2?在此区间内，函数没有根。所以，最小正根大于. 23??当x接近且大于时，函数值为正，当x接近且大于时，函数值为负。因此，22?3?最小正根区间为（,）,选择x1=2,函数值为-0.185<0,选择x2=4.6，函数22值为4.260>0 按二分法计算，略，x*?4.493424。 按牛顿迭代法，其迭代公式为 xk?1?xk??x?tanxk?f(xk)?xk?kf?(xk)?1?ctanxk?*，取初始值x=4.6，得x?4.493424 9. 研究求a的牛顿公式xk?1?1a(xk?),2xkx0?0，证明对一切k?1,2,?，xk?a且序列x1,x2,?是递减的。 证： (xk?a)21a显然，xk?0，又因为xk?1?a?(xk?)?a??0，所以2xk2xka?xk1axk?a,k?1,2,?，又xk?1?xk?(xk?)?xk??0，所以序列是递2xk2xk2减的。 10. 对于f(x)?0的牛顿公式xk?1?xk?f(xk)/f?(xk)，证明 Rk?(xk?xk?1)/(xk?1?xk?2)2收敛到?f??(x*)/(2f?(x*))，这里x*为f(x)?0的根。 证： x??11. 用牛顿法（4.13）和求重根迭代法（4.14）计算方程f(x)??sinx???0 的2??2一个近似根，准确到10?5 ，初始值x0?牛顿法（4.13），m=2。 ?2 。 ?5需要计算到10，取??3.1415926。x*?x(7)?1.8955 求重根迭代法（4.14） ?5需要计算到10，取??3.1415926。x*?x(13)?1.8955。 注：matlab编程计算得出的结果。 12. 应用牛顿法于方程x3?a?0，导出求立方根3a的迭代公式，并讨论其收敛性。 a?xk3xk?1?xk??023x?a3xk当0时，，说明迭代数列递增。 a?xk3xk?1?xk??023x?a3xk当0时，，说明迭代数列递减。 f(xk)xk3?a1?a??xk???2xk?2?是收敛的。 因此，迭代公式xk?1?xk??2f(xk)3xk3?xk?13. 应用牛顿法于方程f(x)?1?值。 x0?10x1?10.6522a?0，导出求a的迭代公式，并求115的2x令x2?10.7231 x3?10.7238x4?10.723814. 应用牛顿法于方程f(x)?xn?a?0和f(x)?1?迭代公式，并求lim(na?xk?1)/(na?xk)2。 k??a?0，分别导出求na的nxf(x)?xn?a?0的迭代公式： f(x)?1?a?0nx的迭代公式 2xk(xk?3a)是计算a的三阶方法。假定初值x0充分靠?23xk?a15. 证明迭代公式xk?1近x*，求lim(a?xk?1)/(a?xk)2。 k??解： 16.用抛物线法求多项式p(x)?4x4?10x3?1.25x2?5x?1.5的两个零点，再利用降阶求出全部零点。 22??3x1?x2?0T(0.4,0.7)17.非线性方程组? 在 附近有一个解，构造一个不动23??3x1x2?x1?1?0点迭代法，使它能收敛到这个解，并计算精确到10?5（按??）。 22?T?x?y?1(0)18.用牛顿法解方程组?2 取。 x?1.6,1.2??2??x?y?1