李庆扬数值分析第五版与习题答案 下载本文

第5章

复习与思考题 1、用高斯消去法为什么要选主元?哪些方程组可以不选主元? k答:使用高斯消去法时,在消元过程中可能出现akk?0 的情况,这时消去法无法进行;即k时主元素akk?0,但相对很小时,用其做除数,会导致其它元素数量级的严重增长和舍入误差的扩散,最后也使得计算不准确。因此高斯消去法需要选主元,以保证计算的进行和计算的准确性。 当主对角元素明显占优(远大于同行或同列的元素)时,可以不用选择主元。计算时一般选择列主元消去法。 2、高斯消去法与LU分解有什么关系?用它们解线性方程组Ax = b有何不同?A要满足什么条件? 答:高斯消去法实质上产生了一个将A分解为两个三角形矩阵相乘的因式分解,其中一个为上三角矩阵U,一个为下三角矩阵L。 用LU分解解线性方程组可以简化计算,减少计算量,提高计算精度。 A需要满足的条件是,顺序主子式(1,2,…,n-1)不为零。 3、楚列斯基分解与LU分解相比,有什么优点? 楚列斯基分解是LU分解的一种,当限定下三角矩阵L的对角元素为正时,楚列斯基分解具有唯一解。 4、哪种线性方程组可用平方根法求解?为什么说平方根法计算稳定? 具有对称正定系数矩阵的线性方程可以使用平方根法求解。 平方根法在分解过程中元素的数量级不会增长,切对角元素恒为正数,因此,是一个稳定的算法。 5、什么样的线性方程组可用追赶法求解并能保证计算稳定? 对角占优的三对角方程组 6、何谓向量范数?给出三种常用的向量范数。 向量范数定义见p53,符合3个运算法则。 正定性 齐次性 三角不等式 设x 为向量,则三种常用的向量范数为:(第3章p53,第5章p165) 7、何谓矩阵范数?何谓矩阵的算子范数?给出矩阵A = (ai j )的三种范数|| A||1,|| A||2,|| A||∞,|| A||1与|| A||2哪个更容易计算?为什么? 向量范数定义见p162,需要满足四个条件。 正定条件 齐次条件 三角不等式 相容条件 矩阵的算子范数有 从定义可知,||A||1更容易计算。 8、什么是矩阵的条件数?如何判断线性方程组是病态的? 答:设A为非奇异阵,称数cond(A)v?A当cond(A)?1时,方程是病态的。 ?1vAv (v?1,2,?)为矩阵A的条件数 9、满足下面哪个条件可判定矩阵接近奇异? (1)矩阵行列式的值很小。 (2)矩阵的范数小。 (3)矩阵的范数大。 (4)矩阵的条件数小。 (5)矩阵的元素绝对值小。 接近奇异阵的有 (1)、(2) 注:矩阵的条件数小说明A是良态矩阵。 矩阵的元素绝对值小,不能说明行列式的值小等。 10、判断下列命题是否正确: (1)只要矩阵A非奇异,则用顺序消去法或直接LU分解可求得线性方程组Ax = b的解。 答:错误,主元位置可能为0,导致无法计算结果。 (2)对称正定的线性方程组总是良态的。 答:正确。 (3)一个单位下三角矩阵的逆仍为单位下三角矩阵。 答:正确。 (4)如果A非奇异,则Ax = b的解的个数是由右端向量b的决定的。 答:正确。解释:若A|b与A的秩相同,则A有唯一解。若不同,则A无解。 (5)如果三对角矩阵的主对角元素上有零元素,则矩阵必奇异。 (6)范数为零的矩阵一定是零矩阵。 答:正确。 (7)奇异矩阵的范数一定是零。 答:错误,?? 可以不为0。 (8)如果矩阵对称,则|| A||1 = || A||∞ 。 答:根据范数的定义,正确。 (9)如果线性方程组是良态的,则高斯消去法可以不选主元。 答:错误,不选主元时,可能除数为0。 (10)在求解非奇异性线性方程组时,即使系数矩阵病态,用列主元消去法产生的误差也很小。 答:错误。对于病态方程组,选主元对误差的降低没有影响。 (11)|| A ||1 = || AT ||∞ 。 答:根据范数的定义,正确。 (12)若A是n ? n的非奇异矩阵,则 cond(A)?cond(A?1)。 答:正确。A是n ? n的非奇异矩阵,则A存在逆矩阵。 根据条件数的定义有:cond(A)?A?A?1cond(A)?A?1?1?(A)?1?1?A?1?A?A?A?1 习题 ?a111、设A是对称阵且a11?0,经过高斯消去法一步后,A约化为??0称矩阵。 证明: T?a1?,证明A2是对A2??a11?a12设对称矩阵A???...??a1nT所以a1?[a12a12...a1n?a22...an2?? ,则经过1次高斯校区法后,有 .........??a2n...ann? ...an2]所以A2为对称矩阵。 2、设A是对称正定矩阵,经过高斯消去法一步后,A约化为A?(aij)n,其中A?(aij)n,(2)A2?(aij)n?1; 证明:(1)A的对角元素aii?0(i?1,2,L,n);(2)A2是对称正定矩阵; (1)依次取xi?(0,0,?,0,1,0,?,0)T,i?1,2,?,n,则因为A是对称正定矩阵,i所以有aii?xTAx?0。 (2)(2)A2中的元素满足aij?aij?ai1a1ja11,(i,j?2,3,?,n),又因为A是对称正定ai1a1ja11a1iaj1a11(2)矩阵,满足aij?aji,i,j?1,2,?,n,所以aij?aij??aji??a(ji2),即A2是对称矩阵。 3、设Lk为指标为k的初等下三角矩阵(除第k列对角元以下元素外,Lk和单位阵I 相同),即 ±?ILI 也是一个指标为k的初等下三角矩阵,其中I为初等置换求证当i,j?k时,Lijkijkij矩阵。 4、试推导矩阵A 的Crout分解A=LU的计算公式,其中L为下三角矩阵,U为单位上三角矩阵。 本题不推导。参见书上例题。P147页。 5、设Ux?d ,其中U为三角矩阵。 (1)就U为上及下三角矩阵推导一般的求解公式,并写出算法 (2)计算解三角方程组Ux?d的乘除法次数 (3)设U为非奇异矩阵,试推导求U?1的计算公式 本题考查求解公式的一般方法,可从第n个元素开始,逐步计算n-1,…1时对应的求解公式。 解法,略。 6、证明: (1)如果A是对称正定矩阵,则A?1也是对称正定矩阵 (2)如果A是对称正定矩阵,则A可以唯一地写成A?LTL,其中L是具有正对角元的下三角矩阵 均是对称正定矩阵的性质。应予以记住。 7、用列主元消去法解线性方程组 并求出系数矩阵A的行列式的值 使用列主元消去法,有 A的行列式为-66 方程组的解为 X1=1,x2=2,x3=3 8、用直接三角分解(Doolittle分解)求线性方程组的解 本题考查LU分解。 解: 9、用追赶法解三对角方程组Ax?b,其中 ?2?1000??12?100?A??0?12?10??00?12?1??000?12(1)计算?i的递推公式 (2)解Ly=f (3)解UX=y ??1???0?????,b??0?。 ?????0?????0??解:追赶法实际为LU分解的特殊形式。设U为、单位上三角矩阵。有 10、用改进的平方根法解方程组 ?11??x1??4??2??1?23??x???5?。 ???2????31??1???6???x3???本题明确要求使用平方根法进行求解。实际考查的LDU分解。见P157 10723。 x1?,x2?,x3?999