第5章

复习与思考题 1、用高斯消去法为什么要选主元？哪些方程组可以不选主元？ k答：使用高斯消去法时，在消元过程中可能出现akk?0 的情况，这时消去法无法进行；即k时主元素akk?0，但相对很小时，用其做除数，会导致其它元素数量级的严重增长和舍入误差的扩散，最后也使得计算不准确。因此高斯消去法需要选主元，以保证计算的进行和计算的准确性。 当主对角元素明显占优（远大于同行或同列的元素）时，可以不用选择主元。计算时一般选择列主元消去法。 2、高斯消去法与LU分解有什么关系？用它们解线性方程组Ax = b有何不同？A要满足什么条件？ 答：高斯消去法实质上产生了一个将A分解为两个三角形矩阵相乘的因式分解，其中一个为上三角矩阵U，一个为下三角矩阵L。 用LU分解解线性方程组可以简化计算，减少计算量，提高计算精度。 A需要满足的条件是，顺序主子式（1,2，…，n-1）不为零。 3、楚列斯基分解与LU分解相比，有什么优点？ 楚列斯基分解是LU分解的一种，当限定下三角矩阵L的对角元素为正时，楚列斯基分解具有唯一解。 4、哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？ 具有对称正定系数矩阵的线性方程可以使用平方根法求解。 平方根法在分解过程中元素的数量级不会增长，切对角元素恒为正数，因此，是一个稳定的算法。 5、什么样的线性方程组可用追赶法求解并能保证计算稳定？ 对角占优的三对角方程组 6、何谓向量范数？给出三种常用的向量范数。 向量范数定义见p53，符合3个运算法则。 正定性 齐次性 三角不等式 设x 为向量，则三种常用的向量范数为：（第3章p53,第5章p165） 7、何谓矩阵范数？何谓矩阵的算子范数？给出矩阵A = (ai j )的三种范数|| A||1，|| A||2，|| A||∞，|| A||1与|| A||2哪个更容易计算？为什么？ 向量范数定义见p162，需要满足四个条件。 正定条件 齐次条件 三角不等式 相容条件 矩阵的算子范数有 从定义可知，||A||1更容易计算。 8、什么是矩阵的条件数？如何判断线性方程组是病态的？ 答：设A为非奇异阵，称数cond(A)v?A当cond(A)?1时，方程是病态的。 ?1vAv （v?1,2,?）为矩阵A的条件数 9、满足下面哪个条件可判定矩阵接近奇异？ （1）矩阵行列式的值很小。 （2）矩阵的范数小。 （3）矩阵的范数大。 （4）矩阵的条件数小。 （5）矩阵的元素绝对值小。 接近奇异阵的有 （1）、（2） 注：矩阵的条件数小说明A是良态矩阵。 矩阵的元素绝对值小，不能说明行列式的值小等。 10、判断下列命题是否正确： （1）只要矩阵A非奇异，则用顺序消去法或直接LU分解可求得线性方程组Ax = b的解。 答：错误，主元位置可能为0，导致无法计算结果。 （2）对称正定的线性方程组总是良态的。 答：正确。 （3）一个单位下三角矩阵的逆仍为单位下三角矩阵。 答：正确。 （4）如果A非奇异，则Ax = b的解的个数是由右端向量b的决定的。 答：正确。解释：若A|b与A的秩相同，则A有唯一解。若不同，则A无解。 （5）如果三对角矩阵的主对角元素上有零元素，则矩阵必奇异。 （6）范数为零的矩阵一定是零矩阵。 答：正确。 （7）奇异矩阵的范数一定是零。 答：错误，?? 可以不为0。 （8）如果矩阵对称，则|| A||1 = || A||∞ 。 答：根据范数的定义，正确。 （9）如果线性方程组是良态的，则高斯消去法可以不选主元。 答：错误，不选主元时，可能除数为0。 （10）在求解非奇异性线性方程组时，即使系数矩阵病态，用列主元消去法产生的误差也很小。 答：错误。对于病态方程组，选主元对误差的降低没有影响。 （11）|| A ||1 = || AT ||∞ 。 答：根据范数的定义，正确。 （12）若A是n ? n的非奇异矩阵，则 cond(A)?cond(A?1)。 答：正确。A是n ? n的非奇异矩阵，则A存在逆矩阵。 根据条件数的定义有：cond(A)?A?A?1cond(A)?A?1?1?(A)?1?1?A?1?A?A?A?1 习题 ?a111、设A是对称阵且a11?0，经过高斯消去法一步后，A约化为??0称矩阵。 证明： T?a1?，证明A2是对A2??a11?a12设对称矩阵A???...??a1nT所以a1?[a12a12...a1n?a22...an2?? ，则经过1次高斯校区法后，有 .........??a2n...ann? ...an2]所以A2为对称矩阵。 2、设A是对称正定矩阵，经过高斯消去法一步后，A约化为A?(aij)n，其中A?(aij)n，(2)A2?(aij)n?1； 证明：（1）A的对角元素aii?0(i?1,2,L,n)；（2）A2是对称正定矩阵； （1）依次取xi?(0,0,?,0,1,0,?,0)T,i?1,2,?,n，则因为A是对称正定矩阵，i所以有aii?xTAx?0。 (2)（2）A2中的元素满足aij?aij?ai1a1ja11,(i,j?2,3,?,n)，又因为A是对称正定ai1a1ja11a1iaj1a11(2)矩阵，满足aij?aji,i,j?1,2,?,n，所以aij?aij??aji??a(ji2)，即A2是对称矩阵。 3、设Lk为指标为k的初等下三角矩阵（除第k列对角元以下元素外，Lk和单位阵I 相同），即 ±?ILI 也是一个指标为k的初等下三角矩阵，其中I为初等置换求证当i,j?k时，Lijkijkij矩阵。 4、试推导矩阵A 的Crout分解A=LU的计算公式，其中L为下三角矩阵，U为单位上三角矩阵。 本题不推导。参见书上例题。P147页。 5、设Ux?d ，其中U为三角矩阵。 （1）就U为上及下三角矩阵推导一般的求解公式，并写出算法 （2）计算解三角方程组Ux?d的乘除法次数 （3）设U为非奇异矩阵，试推导求U?1的计算公式 本题考查求解公式的一般方法，可从第n个元素开始，逐步计算n-1,…1时对应的求解公式。 解法，略。 6、证明： （1）如果A是对称正定矩阵，则A?1也是对称正定矩阵 （2）如果A是对称正定矩阵，则A可以唯一地写成A?LTL，其中L是具有正对角元的下三角矩阵 均是对称正定矩阵的性质。应予以记住。 7、用列主元消去法解线性方程组 并求出系数矩阵A的行列式的值 使用列主元消去法，有 A的行列式为-66 方程组的解为 X1=1,x2=2,x3=3 8、用直接三角分解（Doolittle分解）求线性方程组的解 本题考查LU分解。 解： 9、用追赶法解三对角方程组Ax?b，其中 ?2?1000??12?100?A??0?12?10??00?12?1??000?12（1）计算?i的递推公式 （2）解Ly=f （3）解UX=y ??1???0?????，b??0?。 ?????0?????0??解：追赶法实际为LU分解的特殊形式。设U为、单位上三角矩阵。有 10、用改进的平方根法解方程组 ?11??x1??4??2??1?23??x???5?。 ???2????31??1???6???x3???本题明确要求使用平方根法进行求解。实际考查的LDU分解。见P157 10723。 x1?,x2?,x3?999