想，“含与不含其元素”的分类思想．

mmm?1 n3．组合数的 性质2：C． ?1＝Cn+Cnmm?1 证明： Cn?Cn?n!n! ?m!(n?m)!(m?1)![n?(m?1)]! ?n!(n?m?1)?n!m

m!(n?m?1)! ?(n?m?1?m)n!

m!(n?m?1)! ?(n?1)! m!(n?m?1)!m ?Cn?1 mmm?1 ∴ Cn． ?1＝Cn+Cn 注：1? 公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多

1而上标与高的相同的一个组合数．

2? 此性质的作用：恒等变形，简化运算．在今后学习“二项式定理”时，我

们会看到它的主要应用．

4．示例二：

3456⑴ 计算：C7 ?C7?C8?C9

nnn?1n?2⑵ 求证：Cm?2＝Cm+2Cm+Cm

x?12x?3⑶ 解方程：C13 ?C13

⑷ 解方程：Cx?2?Cx?2?

⑸ 计算：C4?C4?C4?C4?C4和C5?C5?C5?C5?C5?C5 推广：Cn?Cn?Cn???Cn 5．组合数性质的简单应用： 证明下列等式成立：

⑴ （讲解）Cn?1?Cn?2?Cn?3???Ck?1?Ck?Cn

13

kkkkkk?1012n?1n?Cn?2n

01234x?2x?313Ax?3 10012345

kk?1⑵ （练习）Ck?Ckk?1?Ckk?2???Ckk?n?Cn?k?1

⑶ Cn?2Cn?3Cn???nCn?123nn01n(Cn?Cn???Cn) 2

6．处理《教学与测试》76课例题 三、小结：1．组合数的两个性质；

2．从特殊到一般的归纳思想． 四、作业： 课堂作业：《教学与测试》76课

课外作业：课本习题10.3；课课练课时9

组 合 ⑶

课题：组合、组合数的综合应用⑴

目的：进一步巩固组合、组合数的概念及其性质，能够解决一些较为复杂的组合应用问题，提高合理选用知识的能力． 过程：

一、知识复习：

1．复习排列和组合的有关内容：

依然强调：排列——次序性；组合——无序性． 2．排列数、组合数的公式及有关性质

mn?mmmm?1 性质1：Cn 性质2：Cn ?Cn?1＝Cn+Cn00kk?1 常用的等式：Ck?Ck?1?Ck?Ck?1?1

3．练习：处理《教学与测试》76课例题 二、例题评讲：

例1．100件产品中有合格品90件，次品10件，现从中抽取4件检查． ⑴ 都不是次品的取法有多少种？ ⑵ 至少有1件次品的取法有多少种？

⑶ 不都是次品的取法有多少种？

4 解：⑴ C90； ?2555190⑵ C100?C90?C10C90?C10C90?C10C90?C10?1366035； ⑶ C100?C10?C90C10?C90C10?C90C10?C90?3921015．

14

441322314441322314

例2．从编号为1，2，3，?，10，11的共11个球中，取出5个球，使得这5个球的编号之和为奇数，则一共有多少种不同的取法？

14325 解：分为三类：1奇4偶有C6 C5 ；3奇2偶有C6C5；5奇1偶有C614325 所以一共有C6C5+C6C5+C6?236．

例3．现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作；有4名青年能胜任德语翻 译工作（其中有1名青年两项工作都能胜任），现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？ 解：我们可以分为三类：

22 ① 让两项工作都能担任的青年从事英语翻译工作，有C4C3；

31② 让两项工作都能担任的青年从事德语翻译工作，有C4C3； 32③ 让两项工作都能担任的青年不从事任何工作，有C4C3． 312232 所以一共有C4C3+C4C3+C4C3＝42种方法．

例4．甲、乙、丙三人值周，从周一至周六，每人值两天，但甲不值周一，乙不值周六，问可以排出多少种不同的值周表 ？

221211 解法一：（排除法）C6C4?2C5C4?C4C3?42

12 解法二：分为两类：一类为甲不值周一，也不值周六，有C4C4；另一类为甲不

122222值周一，但值周六，有C4C4+C4C3．所以一共有C4C3＝42种方法．

例5．6本不同的书全部送给5人，每人至少1本，有多少种不同的送书方法？

2 解：第一步从6本不同的书中任取2本“捆绑”在一起看成一个元素有C6种方

5法；第二步将5个“不同元素（书）”分给5个人有A5种方法．根据分步计数原52理，一共有C6＝1800种方法． A5 变题1：6本不同的书全部送给5人，有多少种不同的送书方法？ 变题2： 5本不同的书全部送给6人，每人至多1本，有多少种不同的送书方法？ ． 变题3： 5本相同的书全部送给6人，每人至多1本，有多少种不同的送书方法？ ．

55 答案：1．5?15625； 2．A6?6． ?720； 3．C66三、小结：1．组合的定义，组合数的公式及其两个性质； 2．组合的应用：分清是否要排序． 四、作业：《3+X》 组合基础训练

《课课练》课时10 组合四

组 合 ⑷

15

课题：组合、组合数的综合应用⑵

目的：对排列组合知识有一个系统的了解，掌握排列组合一些常见的题型及解题方法，能够运用两个原理及排列组合概念解决排列组合问题． 过程：

一、知识复习： 1．两个基本原理；

2．排列和组合的有关概念及相关性质． 二、例题评讲：

例1．6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法： ⑴ 分给甲、乙、丙三人，每人两本； ⑵ 分为三份，每份两本；

⑶ 分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；

⑷ 分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本； ⑸ 分给甲、乙、丙三人，每人至少一本．

222解：⑴ 根据分步计数原理得到：C6C4C2?90种．

222⑵ 分给甲、乙、丙三人，每人两本有C6C4C2种方法，这个过程可以分两步完成：

第一步分为三份，每份两本，设有x种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名

22233同学有A3种方法．根据分步计数原理可得：C6，所以C4C2?xC3222C6C4C2x??15．因此分为三份，每份两本一共有15种方法． 3A3注：本题是分组中的“均匀分组”问题． ．．．．

123⑶ 这是“不均匀分组”问题，一共有C6C5C3?60种方法．

1233⑷ 在⑶的基础上在进行全排列，所以一共有C6C5C3A3?360种方法． 222⑸ 可以分为三类情况：①“2、2、2型”即⑴中的分配情况，有C6C4C2?90种1233方法；②“1、2、3型”即⑷中的分配情况，有C6C5C3A3?360种方法；③“1、1、434型”，有C6A3?90种方法．所以一共有90+360+90＝540种方法．

例2．身高互不相同的7名运动员站成一排，甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排列且互不相邻的排法有多少种？ 解：（插空法）现将其余4个同学进行全排列一共有A4种方法，再将甲、乙、丙三名

3同学插入5个空位置中（但无需要进行排列）有C5种方法．根据分步计数原理，3一共有A4C5＝240种方法．

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