借助一题多解检验答案的正确性． 四、作业：“3＋X”之 排列 练习

组 合 ⑴ 课题：组合、组合数的概念

目的：理解组合的意义，掌握组合数的计算公式． 过程：

一、复习、引入：

1．复习排列的有关内容： 排 列 定 义 特 点 相同排列 公 式 以上由学生口答． 2．提出问题：

示例1： 从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学

参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？

示例2： 从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？ 引导观察：示例1中不但要求选出2名同学，而且还要按照一定的顺序“排列”，而

示例2只要求选出2名同学，是与顺序无关的． 引出课题：组合问题． ．．二、新授：

1．组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从

n个不同元素中取出m个元素的一个组合．

注：1．不同元素 2．“只取不排”——无序性 3．相同组合：元素相同 判断下列问题哪个是排列问题哪个是组合问题：

⑴ 从A、B、C、D四个景点选出2个进行游览；（组合）

⑵ 从甲、乙、丙、丁四个学生中选出2个人担任班长和团支部书记．（排列）

2．组合数的概念：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做

m从n个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号Cn表示．

例如：示例2中从3个同学选出2名同学的组合可以为：甲乙，甲丙，乙丙．即

2有C3?3种组合．

又如：从A、B、C、D四个景点选出2个进行游览的组合：AB，AC，AD，BC，

BD，CD一共6种组合，即：C4?6

在讲解时一定要让学生去分析：要解决的问题是排列问题还是组合问 题，关键是看是否与顺序有关． 那么又如何计算Cn呢？ 3．组合数公式的推导

⑴提问：从4个不同元素a，b，c，d中取出3个元素的组合数C4是多少呢？

9

32m

3启发： 由于排列是先组合再排列，而从4个不同元素中取出3个元素的排列数 可A4．．．．．．．．．

33以求得，故我们可以考察一下C4和A4的关系，如下：

组 合 排列

abc?abc,bac,cab,acb,bca,cba abd?abd,bad,dab,adb,bda,dba

acd?acd,cad,dac,adc,cda,dcabcd?bcd,cbd,dbc,bdc,cdb,dcb 由此可知：每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取

3出3个元素的排列数A4，可以分如下两步：① 考虑从4个不同元素中取出3个元素

3的组合，共有C4个；② 对每一个组合的3个不同元素进行全排列，各有A3种方法．由

3A4C?3．

A3343分步计数原理得：A34＝

C?A3433，所以：

m⑵ 推广： 一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数An，可以分如下两步：

m① 先求从n个不同元素中取出m个元素的组合数Cn；② 求每一个组合中mmmmm个元素全排列数Am，根据分布计数原理得：An＝Cn ?Am⑶ 组合数的公式：

mAnn(n?1)(n?2)?(n?m?1)C?m?m!Ammn

或 Cn?⑷ 巩固练习：

mn! (n,m?N?,且m?n)

m!(n?m)!741．计算：⑴ C7 ⑵ C10

2．求证：Cn?mm?1m?1?Cn n?mx?12x?3 3．设x?N?, 求C2x?3?Cx?1的值．

2x?3?x?1 解：由题意可得：? 即：2≤x≤4 ??x?1?2x?3 ∵x?N?, ∴x=2或3或4

当x=2时原式值为7；当x=3时原式值为7；当x=2时原式值为11． ∴所求值为4或7或11．

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4．例题讲评

例1． 6本不同的书分给甲、乙、丙3同学，每人各得2本，有多少种不同的分 法？

222 略解：C6?C4?C2?90

例2．4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人实践活动小组，问组成方法共有多少种？

3 解法一：（直接法）小组构成有三种情形：3男，2男1女，1男2女，分别有C4，

321122112，C4，所以一共有C4+C4+C4＝100种方法． C4?C6?C6?C6?C633 解法二：（间接法）C10?C6?100

5．学生练习：（课本99练习） 三、小结： 排 列 组 合 定 义 特 点 相同组合 公 式 此外，解决实际问题时首先要看是否与顺序有关，从而确定是排列问题还是组合问题，必要时要利用分类和分步计数原理． 四、作业：课堂作业：教学与测试75课

课外作业：课课练 课时7和8

组 合 ⑵

课题：组合的简单应用及组合数的两个性质

目的：深刻理解排列与组合的区别和联系，熟练掌握组合数的计算公式；掌握组合数的两个性质，并且能够运用它解决一些简单的应用问题． 过程：

一、复习回顾：

1．复习排列和组合的有关内容： 排 列 组 合 定 义 特 点 相同×× 公 式 强调：排列——次序性；组合——无序性． 2．练习一：

练习1：求证：Cn?mnm?1mm?1Cn?1． （本式也可变形为：mCn?nCn?1） m4537323练习2：计算：① C10和C10； ② C7与C6；③ C11?C11 ?C6 答案：① 120，120 ② 20，20 ③ 792 （此练习的目的为下面学习组合数的两个性质打好基础．） 3．练习二：

⑴ 平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？

⑵ 平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条？

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22答案：⑴C10?45 （组合问题） ⑵A10?90（排列问题）

二、新授：

mn?m1．组合数的 性质1：Cn ?Cn． 理解： 一般地，从n个不同元素中取出m个元素后，剩下n ? m个元素．因

为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的n ? m个元素的每一个组合一一对应，所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数，等于从这n．．．．

mn?m个元素中取出n ? m个元素的组合数，即：Cn．在这里，我们主要体?Cn现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想．

n?m证明：∵Cn?n!n! ?(n?m)![n?(n?m)]!m!(n?m)!mn?mn! ∴Cn?Cn

m!(n?m)!m 又 Cn?0注：1? 我们规定 Cn?1

2? 等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标．

nmn?m3? 此性质作用：当m?时，计算Cn可变为计算Cn，能够使运算简化．

220012002?20011例如：C2002＝C2002＝C2002=2002．

x 4? Cn?Cny?x?y或x?y?n

2．示例一：（课本101例4）一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．

⑴ 从口袋内取出3个球，共有多少种取法？

⑵ 从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ ⑶ 从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？

323解：⑴ C8?56 ⑵ C7?21 ⑶ C7?35 323 引导学生发现：C8．为什么呢？ ?C7?C7 我们可以这样解释：从口袋内的8个球中所取出的3个球，可以分为两类：一类含有1个黑球，一类不含有黑球．因此根据分类计数原理，上述等式成立．

m 一般地，从a1,a2,?,an?1这n+1个不同元素中取出m个元素的组合数是Cn这?1，

些组合可以分为两类：一类含有元素a1，一类不含有a1．含有a1的组合是从

m?1共有Cn个；不含有a1的a2,a3,?,an?1这n个元素中取出m ?1个元素与a1组成的，

m组合是从a2,a3,?,an?1这n个元素中取出m个元素组成的，共有Cn个．根据分类计

数原理，可以得到组合数的另一个性质．在这里，我们主要体现从特殊到一般的归纳思

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