例1：⑴ 7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？

7 解：问题可以看作：7个元素的全排列——A7＝5040

⑵ 7位同学站成两排（前3后4），共有多少种不同的排法？ 解：根据分步计数原理：7×6×5×4×3×2×1＝7！＝5040

⑶ 7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？

6 解：问题可以看作：余下的6个元素的全排列——A6=720

⑷ 7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？

2 解：根据分步计数原理：第一步 甲、乙站在两端有A2种；第二步 余下的5名

255同学进行全排列有A5种 则共有A2=240种排列方法 A5⑸ 7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？

解法一（直接法）：第一步 从（除去甲、乙）其余的5位同学中选2位同学站在

2排头和排尾有A5种方法；第二步 从余下的5位同学中选5位进行排列（全排525列）有A5种方法 所以一共有A5＝2400种排列方法． A566 解法二：（排除法）若甲站在排头有A6种方法；若乙站在排尾有A6种方法；若

5甲站在排头且乙站在排尾则有A5种方法．所以甲不能站在排头，乙不能排在765排尾的排法共有A7－2A6＋A5=2400种．

小结一：对于“在”与“不在”的问题，常常使用“直接法”或“排除法”，对某些特殊元素可以优先考虑．

例2 ： 7位同学站成一排．

⑴甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？

解：先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素（同学）一

6起进行全排列有A6种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有A2种方法．所6以这样的排法一共有A6A2＝1440种．

22⑵甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？

53 解：方法同上，一共有A5＝720种． A3⑶甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？

解法一：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为

丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排

2尾，有A5种方法；将剩下的4个元素进行全排列有A4种方法；最后将甲、乙两个2同学“松绑”进行排列有A2种方法．所以这样的排法一共有A5A4A2＝960种方

24245

法．

解法二：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，

5若丙站在排头或排尾有2A5种方法，所以丙不能站在排头和排尾的排法有652(A6?2A5)?A2?960种方法．

解法三：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为

1丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的四个位置选择共有A4种方法，

5 再将其余的5个元素进行全排列共有A5种方法，最后将甲、乙两同学“松绑”，所125以这样的排法一共有A4＝960种方法． A2A5小结二：对于相邻问题，常用“捆绑法”（先捆后松）．

例3： 7位同学站成一排．

⑴甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？

762解法一：（排除法）A7?A6?A2?3600

5解法二：（插空法）先将其余五个同学排好有A5种方法，此时他们留下六个位置2（就称为“空”吧），再将甲、乙同学分别插入这六个位置（空）有A6种方法，52所以一共有A5A6?3600种方法．

⑵甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？

解：先将其余四个同学排好有A4种方法，此时他们留下五个“空”，再将甲、乙和

33丙三个同学分别插入这五个“空”有A5种方法，所以一共有A4A5＝1440种．

44小结三：对于不相邻问题，常用“插空法”（特殊元素后考虑）．

三、小结：

1．对有约束条件的排列问题，应注意如下类型： ⑴某些元素不能在或必须排列在某一位置； ⑵某些元素要求连排（即必须相邻）； ⑶某些元素要求分离（即不能相邻）；

2．基本的解题方法：

⑴ 有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元素或特殊位置，称为优先处理特殊元素（位置）法（优限法）；

⑵ 某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法称为“捆绑法”；

⑶ 某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些不相邻元素插入空挡，

6

这种方法称为“插空法”；

⑷ 在处理排列问题时，一般可采用直接和间接两种思维形式，从而寻求有效的解题途径，这是学好排列问题的根基．

四、作业：《课课练》之“排列 课时1—3”

排 列 课题：排列的简单应用(2)

目的：使学生切实学会用排列数公式计算和解决简单的实际问题，进一步培养分析问题、解决问题的能力，同时让学生学会一题多解． 过程：

一、复习：

1．排列、排列数的定义，排列数的两个计算公式； 2．常见的排队的三种题型：

⑴某些元素不能在或必须排列在某一位置——优限法； ⑵某些元素要求连排（即必须相邻）——捆绑法； ⑶某些元素要求分离（即不能相邻）——插空法． 3．分类、分布思想的应用． 二、新授：

示例一： 从10个不同的文艺节目中选6个编成一个节目单，如果某女演员的独唱节

目一定不能排在第二个节目的位置上，则共有多少种不同的排法？

15 解法一：（从特殊位置考虑）A9 A9?13608056 解法二：（从特殊元素考虑）若选：5?A9 若不选：A9

56则共有 5?A9＋A9＝136080

65解法三：（间接法）A10?A9?136080

示例二：

⑴ 八个人排成前后两排，每排四人，其中甲、乙要排在前排，丙要排在后排， 则共有多少种不同的排法？

5 略解：甲、乙排在前排A4；丙排在后排A4；其余进行全排列A5．

5所以一共有A4A4A5＝5760种方法．

2121⑵ 不同的五种商品在货架上排成一排，其中a, b两种商品必须排在一起，而c, d两种商品不排在一起, 则不同的排法共有多少种？

略解：（“捆绑法”和“插空法”的综合应用）a, b捆在一起与e进行排列有A2；

2 此时留下三个空，将c, d两种商品排进去一共有A3；最后将a, b“松绑”有A2．所

2以一共有A2A3A2＝24种方法．

22227

☆⑶ 6张同排连号的电影票，分给3名教师与3名学生，若要求师生相间而坐，则不同的坐法有多少种？

3333略解：（分类）若第一个为老师则有A3；若第一个为学生则有A3 A3A333 所以一共有2A3＝72种方法． A3示例三：

⑴ 由数字1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字的正整数？

12345略解：A5?A5?A5?A5?A5?325

⑵ 由数字1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字，并且比13 000大的正整数？

13解法一：分成两类，一类是首位为1时，十位必须大于等于3有A3A3种方法；另13一类是首位不为1，有A4A4种方法．所以一共有A3A3?A4A4?114个数比13 000

1414大．

3解法二：（排除法）比13 000小的正整数有A3个，所以比13 000大的正整数有53＝114个． A5?A3示例四： 用1，3，6，7，8，9组成无重复数字的四位数，由小到大排列．

⑴ 第114个数是多少？ ⑵ 3 796是第几个数？

3解：⑴ 因为千位数是1的四位数一共有A5?60个，所以第114个数的千位数应

该是“3”，十位数字是“1”即“31”开头的四位数有A4?12个；同理，以“36”、

“37”、“38”开头的数也分别有12个，所以第114个数的前两位数必然是“39”,而“3 968”排在第6个位置上，所以“3 968” 是第114个数．

⑵ 由上可知“37”开头的数的前面有60＋12＋12＝84个，而3 796在“37”开头的四位数中排在第11个（倒数第二个），故3 796是第95个数． 示例五： 用0，1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，其中

⑴ 能被25整除的数有多少个？

⑵ 十位数字比个位数字大的有多少个？

解： ⑴ 能被25整除的四位数的末两位只能为25，50两种，末尾为50的四位数

1111有A4个，末尾为25的有A3A3个，所以一共有A4＋A3A3＝21个．

222 注： 能被25整除的四位数的末两位只能为25，50，75，00四种情况．

⑵ 用0，1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，一共有A5A5?300个．因为在这300个数中，十位数字与个位数字的大小关系是“等可能的”，所以十位数．．．．字比个位数字大的有

13113A5A5?150个． 28

三、小结：能够根据题意选择适当的排列方法，同时注意考虑问题的全面性，此外能够