集合与图论习题 第一章 习 题
1．画出具有4个顶点的所有无向图(同构的只算一个)。 2．画出具有3个顶点的所有有向图(同构的只算一个)。 3．画出具有4个、6个、8个顶点的三次图。
4．某次宴会上，许多人互相握手。证明：握过奇数次手的人数为偶数(注意，0是偶数)。 5．证明：哥尼斯堡七桥问题无解。
6．设u与v是图G的两个不同顶点。若u与v间有两条不同的通道(迹)，则G中是否有回路？ 7．证明：一个连通的(p，q)图中q ≥p-1。
8．设G是一个(p，q)图，δ(G)≥[p/2]，试证G是连通的。 9．证明：在一个连通图中，两条最长的路有一个公共的顶点。
10．在一个有n个人的宴会上，每个人至少有m个朋友(2≤m≤n)。试证：有不少于m+1个人，使得他们按某种方法坐在一张圆桌旁，每人的左、右均是他的朋友。
11．一个图G是连通的，当且仅当将V划分成两个非空子集V1和V2时，G总有一条联结V1的一个顶点与V2的一个顶点的边。
12．设G是图。证明：若 δ(G)≥ 2，则G包含长至少是δ(G)+1的回路。 13．设G是一个(p，q)图，证明： (a)q≥p，则G中有回路；
(b)若q≥p+4，则G包含两个边不重的回路。 14．证明：若图G不是连通图，则G是连通图。 15．设G是个(p，q)图，试证：
(a)δ(G)·δ(G)≤[(p-1)/2]([(p+1)/2]+1)，若p≡0，1，2(mod 4) (b) δ(G)·δ(G)≤[(p-3)/2]·[(p+1)/2]，若p≡3(mod 4) 16．证明：每一个自补图有4n或4n+1个顶点。
17．构造一个有2n个顶点而没有三角形的三次图，其中n≥3。
18.给出一个10个顶点的非哈密顿图的例子，使得每一对不邻接的顶点u和v，均有
degu+degv≥9
19．试求Kp中不同的哈密顿回路的个数。 20．试证：图四中的图不是哈密顿图。
21．完全偶图Km，n为哈密顿图的充分必要条件是什么？
CC
c
22．菱形12面体的表面上有无哈密顿回路？
23．设G是一个p(p≥3)个顶点的图。u和v是G的两个不邻接的顶点，并且degu+degv≥p。证明：G是哈密顿图当且仅当G+uv是哈密顿图。
24．设G是一个有p个顶点的图。证明：若p>2δ(G)，则有长至少为2δ(G)的路。 25．证明具有奇数顶点的偶图不是哈密顿图。
26．证明：若p为奇数，则Kp中有(p-1)/2个两两无公共边的哈密顿回路。
28．中国邮路问题：一个邮递员从邮局出发投递信件，然后返回邮局。若他必须至少一次走过他所管辖范围内的每条街道，那么如何选择投递路线，以便走尽可能少的路程。这个问题是我国数学家管梅谷于1962年首先提出的，国外称之为中国邮路问题。 (1)试将中国邮路问题用图论述语描述出来。
(2)中国邮路问题、欧拉图问题及最短路问题之间有何联系。
第三章 习 题
1．分别画出具有4、5、6个顶点的所有树(同构的只算一个)。 2．证明：每个非平凡树是偶图。
3．设G是一棵树且Δ(G)≥k，证明：G中至少有k个度为1的顶点。 4．令G是一个有p个顶点，k个支的森林，证明：G有p-k条边。
5．设T是一个k+1个顶点的树。证明：若图G的最小度δ(G)≥k，则G有一个同构于T的子图。 6．一棵树T有n2个度为2的顶点，n3个度为3的顶点，…，nk个度为k的顶点，则T有多少个度为1的顶点？
7.设G是一个连通图。试证：G的子图G1是G的某个生成树的子图，当且仅当G1 没有回路。
8．证明：连通图的任一条边必是它的某个生成树的一条边。
9．设G是一个边带权连通图，G的每条边均在G的某个回路上。试证：若G的边e的权大于G的任一其他边的权，则e不在G的任一最小生成树中。
10. 设G=(V，E，w)是一个边带权连通图，对任意x∈E，w(x)≥0。试证：G的一个生成树T是G的最小生成树，当且仅当时G的任一与T的距离为1的生成树T′满足条件：在T中而不在T′中的边e的权w(e)不大于在T′中而不在T中的边e′的权w(e′)。
11.某镇有1000人，每天他们中的每个人把昨天听到的消息告诉他认识的人。已知任何 消息，只要镇上有人知道，都会经这种方式逐渐地为全镇上所有人知道。试证：可选出90个居
′
′
′
民代表使得只要同时向他们传达某一消息，经10天就会为全镇居民知道。 12.P个顶点的图中，最多有多少个割点？
13．证明：恰有两个顶点不是割点的连通图是一条路。 14．证明：有一座桥的三次图中至少有10个顶点。 15．设v是图G的一个割点，证明v不是G的补图G的割点。
16．设v是图G的一个顶点。证明：v是G的割点当且仅当有邻接v的两个不同的顶点u和w，使得v在u与w间的每一条路上。
17.割点的连通图是否一定不是欧拉图？是否一定不是哈密顿图？有桥的连通图是否 一定不欧拉图和哈密顿图。
18.L是连通图G的一个回路，x和y是L上的两条边。证明：G有个割集S使得x与y 恰好是L与S的公共边。
c
第四章 习 题
1．设G是一个有p个顶点的图，δ(G)≥((p+k)-1)/2，试证：G是k-连通的。 2．若(p，q)图G是k-边连通的，试证：q≥kp/2。
3．设G是k-边连通的，k>0，E′是G的k条边的集合。证明：G-E′的支数小于或等于2。 4．构造一个(p，q)图G使得δ(G)=[p/2-1]，λ(G)<δ(G).
5．设k>0。构造一个k-连通图G，以及G的k个顶点之集V′，使得G-V′的支数大于2。 6．G是一个三次正则图，试证：χ(G)=λ(G)。 7．设r≥2，G是r正则图。证明：λ(G)≥[r/2]。 8．构造一个图G，使得χ(G)=3，λ(G)=4，δ(G)=5。
9．证明：图G是2-边连通的当且仅当任两个不同顶点间至少有两条边不重路。
10．设G=(V，E)是2-边连通图，X和Y是V的子集，|X|≥2，|Y|≥2且X∩Y=Φ。在G中加入两个新的顶点s和t，s与X的每个顶点之间联成一条边，t与Y的每个顶点间加一条边，这样得到的图记为G′。试证：G′是2-连通的。
11. 若G是顶点数p≥11的平面图，试证G不是平面图。
12 设S＝{x1，x2，x3，…，xn}是平面上n个顶点的集合，n≥3，其中任两顶点的距离至少是1。证明：S中至多有3n-6对顶点，其距离为1。 13．证明：不存在7条棱的凸多面体。
14. 图G的最短回路的长度称为G的围长；若G中无回路，则定义G的围长为无穷大。 (ⅰ)证明：围长为r的平面连通图G中有
c
q≤r(p-2)/(r-2)，r≥3
(ⅱ)利用(ⅰ )证明Petersen图(见图3.6.4)不是平面图。
15.设G是一个没有三角形的平面图。应用欧拉公式证明G中有一个顶点v使得degv ≤3。 16．设G是一个平面图。证明：G同构于G当且仅当G是连通的。 17．证明：若G是自对偶的，则q=2p-2.
18.设G是一个没有三角形的图。应用教学归纲法证明G是4－可着色的(事实上，可以证明G是3－可着色的)。
19.设G是一个有p个顶点的d-正则图，证明：k(G)≥p/(p-d)。
20.试用5-色定理的证明方法来证明4色定理，在哪一点证明会失败呢？ 21.设G是一个(p，q)图，证明：k(G)≥p/(p-2p)。
22.证明：若G的任两个奇数长的回路都有一个公共顶点，则k(G)≤5。 23.证明：每个哈密顿平面图都是4-可着色的。 24.设G是一个立方体哈密顿图，证明：k′(G)=3。 25.若r是奇数且G是r-正则图，证明：k′(G)=r+1。 26.若G是彼德森图，证明：k′(G)=4。
2
2
**
第五章 习 题
1.给出有向图的子图、生成子图、导出子图的定义。 2.画出具有三个顶点的所有互不同构的有向图的图解。 3.具有p个顶点的完全有向图中有多少条弧？
4.设D是一个有p个顶点q条弧的有向图。若D是连通的，证明
p-1≤q≤p(p-1)。
5.设D是一个有p个顶点q条弧的强连通的有向图，则q至少是多大？
6.在有向图中，含有所有顶点和所有弧的有向闭迹称为有向欧拉闭迹。一个有向图若含有有向欧闰闭迹，则称此有向图为有向欧拉图。证明：有向图D=(V，A)是有向欧拉图当且仅当D是连通的且对任意的v∈V，总有id(v)=od(v)。
7.证明：有向图D是单向连通的当且仅当D有一条生成通道。 8.设A是一个n×n布尔矩阵，试证：
(I∨A)=(I∨A)(I∨A)=I∨A∨A
其中I是n×n单位矩阵。其次，证明：对任意的正整数r，有
(I∨A)=I∨A ∨A∨…∨A
(r)
(2)
(r)
(2)
(2)
9.设B是有向图D=(V，A)的邻接矩阵，|V|=p。试证D的可达矩阵R为R=(I∨B) 10.有向图D的图解如图一所示 (1)写出D的邻接矩阵及可达矩阵。 (2)写出D关联矩阵。
(p)
11.设D为图二中的有向图，试求v2到其余每个顶点的长≤4的所有通道的条数。 12.已知有向图D的邻接矩阵B，如何从B求D的可达矩阵R？
13.设T是一个正则m元有序树，它有n0个叶子，T有多有多少条弧？
14．令T是一个正则m元树，它有i个内顶点(出度为m)。若E为所有内顶点深度之和，i为所有叶顶点深度之和， 证明：I=(m-1)I+mi。
15.设T是一个有n0个叶子的二元树，出度为2的顶点为n2，试证：n0=n2+1。
16.具有三个顶点的有序树共有多少个？具有三个顶点的有根树有多个？注意，同构的只算一个。
17.一个有序树称为一个2-3树，若每个内顶点有2个或3个儿子，并且从根顶点到每个叶子的路长均相等。试证：若T是一个高为h的2-3树，则 (1)T的顶点数p满足2
h
h+1h
-1≤ p≤3
h+1
-1。
(2)T的叶子数在2与3之间。
18．T是一个正则二元树，它有i个内顶点(出度为2)。若E为所有内顶点深度之和，I为所叶顶点的深度之和，证明：I=E+2i。