第2讲 等差数列及其前n项和

分层训练A级 基础达标演练

(时间：30分钟 满分：60分)

一、填空题(每小题5分，共30分)

1．(2011·重庆卷改编)在等差数列{an}中，a2＝2，a3＝4，则a10＝________. 解析 设公差为d，则d＝a3－a2＝2. ∴a1＝0，an＝2n－2∴a10＝2×10－2＝18. 答案 18

2．(2012·辽宁卷改编)在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝________.

11?a1＋a11?1111解析 由等差数列性质及已知，得S11＝＝(a＋a)＝8

2242×16＝88. 答案 88

3．(2012·泰州学情调查)在等差数列{an}中，a1＞0，S4＝S9，则Sn取最大值时，n＝________.

解析 因为a1＞0，S4＝S9，所以a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝0，所以a7＝0，所以?a6＞0，

?从而当n＝6或7时Sn取最大值． ?a8＜0，答案 6或7

4．在等差数列{an}中，若a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，则S9＝________. 解析 ∵a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，∴3a4＝39,3a6＝27，∴a4＝13，a6＝9.∴a6－a4＝2d＝9－13＝－4，∴d＝－2， 9?a1＋a9?

∴a5＝a4＋d＝13－2＝11，∴S9＝＝9a5＝99.

2答案 99

5．(2012·南通调研)设等差数列{an}的公差为正数，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，则a11＋a12＋a13＝________.

?a1＋a3＝10，

解析 由15＝a1＋a2＋a3＝3a2，得a2＝5.所以?又公差d＞0，

?a1a3＝16.?a1＝2，所以?所以d＝3.所以a11＋a12＋a13＝3a12＝3(a1＋11d)＝3(2＋33)＝

a＝8.?33×35＝105. 答案 105

6．(2012·南京模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn＝2n2＋pn，a7＝11.若ak＋ak＋1

＞12，则正整数k的最小值为________．

解析 因为a7＝S7－S6＝2×72＋7p－2×62－6p＝26＋p＝11，所以p＝－15，Sn＝2n2－15n，an＝Sn－Sn－1＝4n－17(n≥2)，当n＝1时也满足．于是由ak＋21

ak＋1＝8k－30＞12，得k＞4＞5.又k∈N*，所以k≥6，即kmin＝6. 答案 6

二、解答题(每小题15分，共30分)

7．设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6＋15＝0.

(1)若S5＝5，求S6及a1； (2)求d的取值范围．

－15

解 (1)由题意知S6＝S＝－3，a6＝S6－S5＝－8，

5?5a1＋10d＝5，所以?解得a1＝7，所以S6＝－3，a1＝7.

?a1＋5d＝－8.

2

(2)因为S5S6＋15＝0，所以(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，即2a1＋9da1＋10d2

＋1＝0，

故(4a1＋9d)2＝d2－8，所以d2≥8. 故d的取值范围为d≤－22或d≥22.

8．已知数列{an}满足an＝2an－1＋2n＋1(n∈N*，n≥2)，且a3＝27. (1)求a1，a2的值；

1

(2)记bn＝2n(an＋t)(n∈N*)，问是否存在一个实数t，使数列{bn}是等差数列？若存在，求出实数t；若不存在，请说明理由．

解 (1)由a3＝27，得2a2＋23＋1＝27，所以a2＝9. 又由2a1＋22＋1＝9，得a1＝2.

(2)假设存在实数t，使得数列{bn}是等差数列，

111

则2bn＝bn－1＋bn＋1，即2×2n(an＋t)＝n－1(an－1＋t)＋n＋1(an＋1＋t)，即4an＝4an

22an－2n－1n＋1＋2a＋t＋1，所以t＝1. －1＋an＋1＋t，所以4an＝4×n＋22故存在t＝1，使得数列{bn}是等差数列．

分层训练B级 创新能力提升

1．(2012·南京学期学情)已知数列{an}，{bn}都是等差数列，Sn，Tn分别是它们的a2＋a5＋a17＋a22Sn7n＋1

前n项和，且T＝，则＝________.

n＋3b8＋b10＋b12＋b16n

a2＋a5＋a17＋a222?a11＋a12?a1＋a22S227×22＋131

解析 ＝＝＝＝＝5.

b8＋b10＋b12＋b162?b11＋b12?b1＋b22T2222＋331答案 5 2．已知数列{an}满足递推关系式an＋1＝2an＋2－1(n∈N则λ的值是________． 解析 由an＋1＝2an＋2n－1，可得

an＋1an1an＋1＋λan＋λan＋11

＝＋－，则－2n＝n＋1－n2n＋1222n＋12n＋12

n

*

??an＋λ??

)，且?n?为等差数列，

?2???

??an－1??anλ11λ1λ＋1

?－＝－－＝－，当λ的值是－1时，数列n?是公差为2n2n＋122n＋12n＋122n＋1?2???

1

2的等差数列． 答案 －1

3．(2012·苏北四市调研)已知数列{an}，{bn}满足a1＝1，a2＝2，b1＝2，且对任1

意的正整数i，j，k，l，当i＋j＝k＋l时，都有ai＋bj＝ak＋bl，则2 0102 010(ai

i＝1

＋bi)的值是________．

解析 由题意得a1＋b2 010＝a2＋b2 009＝a3＋b2 008＝…＝a2 009＋b2＝a2 010＋b1. 所以? (ai＋bi)＝2 010(a1＋b2 010)

i＝12 010

12 0101

故2 010? (ai＋bi)＝2 010×2 010(a1＋b2 010)

i＝1＝a1＋b2 010. 下面求b2 010.

令i＝1，j＝n，k＝2，l＝n－1，即a1＋bn＝a2＋bn－1，则bn－bn－1＝a2－a1＝1，所以{bn}是以b1＝2为首项，以d＝1为公差的等差数列， 所以b2 010＝2＋(2 010－1)＝2 011. 所以a1＋b2 010＝1＋2 011＝2 012. 答案 2 012

4．已知f(x)是定义在R上不恒为零的函数，对于任意的x，y∈R，都有f(x·y)＝xf(y)＋yf(x)成立．数列{an}满足an＝f(2n)(n∈N*)，且a1＝2.则数列的通项公式an＝________. 解析 由an＋1＝f(2

n＋1

)＝2f(2)＋2f(2)＝2an＋2

nnn＋1

?an?an＋1an

，得n＋1＝2n＋1，所以?2n?是

2??

an

首项为1，公差为1的等差数列，所以2n＝n，an＝n·2n. 答案 n·2n

5．在等差数列{an}中，公差d＞0，前n项和为Sn，a2·a3＝45，a1＋a5＝18. (1)求数列{an}的通项公式；

Sn(2)令bn＝(n∈N*)，是否存在一个非零常数c，使数列{bn}也为等差数列？

n＋c若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由． 解 (1)由题设，知{an}是等差数列，且公差d＞0， ?a2a3＝45，??a1＋d??a1＋2d?＝45，?则由得? ?a1＋a5＝18，?a1＋?a1＋4d?＝18.?a1＝1，解得?∴an＝4n－3(n∈N*)．

?d＝4.n?1＋4n－3?1??

n－?2n22???Sn(2)由bn＝＝＝，

n＋cn＋cn＋c1

∵c≠0，∴可令c＝－2，得到bn＝2n.

∵bn＋1－bn＝2(n＋1)－2n＝2(n∈N*)， ∴数列{bn}是公差为2的等差数列．

1

即存在一个非零常数c＝－2，使数列{bn}也为等差数列． 12

6．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝1－4a，bn＝，其中n∈N*.

2an－1n

(1)求证：数列{bn}是等差数列；

(2)设cn＝(2) bn，试问数列{cn}中是否存在三项，使它们可以构成等差数列？如果存在，求出这三项；如果不存在，说明理由． (1)证明 因为bn＋1－bn＝

2

－＝

2an＋1－12an－1

2

224an22*

－＝－＝2(n∈N)，且b＝＝2所以，1

1?2an－12an－12an－12×1－1?

2?1－4a?－1?n?数列{bn}以2为首项，2为公差的是等差数列． (2)解 由(1)得cn＝(2)bn＝2n，

假设{cn}中存在三项cm，cn，cp(其中m＜n＜p，m，n，p∈N*)成等差数列，则2·2n＝2m＋2p，

所以2n＋1＝2m＋2p,2n－m＋1＝1＋2p－m.

因为m＜n＜p，m，n，p∈N*，所以n－m＋1，p－m∈N*，

从而2n－m＋1为偶数，1＋2p－m为奇数，所以2n－m＋1与1＋2p－m不可能相等，所以数列{cn}中不存在可以构成等差数列的三项.

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