第五章 恒定磁场

5-1 在均匀线性各向同性的非磁性导电媒质（即???0）中，当存在恒定电流时，试证磁感应强度应满足拉普拉斯方程，即?2B?0。

证 在均匀线性各向同性的非磁性导电媒质中，由

B??0H及??H?J，得

??B??0J

对等式两边同时取旋度，得

????Β????0J ????Β??0??J

但是??J?0，考虑到恒等式????A?????A???2A，得

????B?????B?0

又知??B?0，由上式求得 ?2B?0。

5-2 设两个半径相等的同轴电流环沿x轴放置，如习题图5-2所示。试证在中点P处，磁感应强度沿x轴的变 化率等于零，即

dBd2B??0 dxdx2

y x ① o a a P ② z a 习题图5-2 1 / 19

解 设电流环的半径为a，为了求解方便，将原题中坐标轴x换为坐标轴z，如图示。那么，中点P的坐标为（z，

a?a???0，0），电流环①位于?z??处，电流环②位于?z??处。

2?2???根据毕奥—沙伐定律，求得电流环①在P点产生的磁感应强度为

?B1?04?取圆柱坐标系，则

?Idl1??r?r??r?r?3l1

r??Idl1?e?Iad?，r?ezz，r??err?ez?z??，

2??因此

?B1?04??2??r???e?Ird???ezz?err?ez?z???2????r??ezz?err?ez?z??2???e?Ird????err?ez?3r?err?ez2r?2??30

??04??2?0同理可得，电流环②在P点产生的磁感应强度为

?B2?04??2?0r??e?Ird????ez?err?2?? 3r?ez?err2那么，P点合成磁感应强度为

B?B1?B2

由于B1和B2均与坐标变量z无关，因此P点的磁感应强度沿z轴的变化率为零，即

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dBd2B??0 dzdz2y C a A P a B x 5-3 已知边长为a的等边三角 形回路电流为I，周围媒质为 真空，如习题图5-3所示。试求 回路中心点的磁感应强度。 解 取直角坐标系，令三角形的

o a a

习题图5-3

AB边沿x 轴，中心点P位于y轴上，电流方向如图示。

由毕奥—沙伐定律，求得AB段线电流在P点产生的磁感应强度为

B1??0Idl??r?r?? ?3l4?r?r?3a，r??exx，即 6式中Idl??exIdx，r?ey??3???eIdx?ea?exxyx?a?6?????e33?0I B1?0?2az34??22?a3eya?exx6由于轴对称关系，可知BC段及AC段电流在P点

产生的磁感应强度与AB段产生的磁感应强度相等。因此，P点的磁感应强度为

B?3B1??ez93?0I 2?a5-4 已知无限长导体圆柱半径为a，通过的电流为I，且电流均匀分布，试求柱内外的磁感应强度。

解 建立圆柱坐标系，令圆柱的轴线为Z轴。那么，由安培环路定律得知，在圆柱内线积分仅包围的部分电流为

?r2I1?2I，又dl?e?rd?，则

?a3 / 19

rI?r2?H?H?dl?I ??l2?a2?a2即

B?e??0rI 2?a2在圆柱外，线积分包围全部电流I，那么

?H?dl?I?H??lI2?r

即

B?e??0I 2?r5-5 已知无限长导体圆柱的半径为a，其内部存在的圆柱空腔半径为b，导体圆柱的轴线与空腔圆柱的轴线之间的间距为c，如习题图5-5（a）所示。若导体中均匀分布的电流密度为J?ezJ0，试求空腔中的磁感应强度。

Y Y b J c X r ?r r?r? X

Y a 习题图5-5(a)

习题图5-5(b)

解 柱内空腔可以认为存在一个均匀分布的等值反向电流，抵消了原有的电流而形成的。那么，利用叠加原理和安培环路定律即可求解。已知半径为a，电流密度为J0的载流圆柱在柱内半径r处产生的磁场强度H1为

2H?dl??rJ0 1?l求得

H1??J0rJ?r，或写为矢量形式 H1? 224 / 19