图1-3 系统单位取样响应
1.2.3 离散时间信号的卷积和运算
由于系统的零状态响应是激励与系统的单位取样响应的卷积，因此卷积运算在离散时间信号处理领域被广泛应用。离散时间信号的卷积定义为
?y(n)?x(n)*h(n)?m????x(m)h(n?m) （1-2）
可见，离散时间信号的卷积运算是求和运算，因而常称为“卷积和”。
MATLAB求离散时间信号卷积和的命令为conv，其语句格式为
y=conv(x,h)
其中，x与h表示离散时间信号值的向量；y为卷积结果。用MATLAB进行卷积和运算时，无法实现无限的累加，只能计算时限信号的卷积。
例如，利用MALAB的conv命令求两个长为4的矩形序列的卷积和，即
g(n)?[u(n)?u(n?4)]*[u(n)?u(n?4)]，其结果应是长为7（4+4-1=7）的三角
序列。用向量[1 1 1 1]表示矩形序列，MATLAB源程序为
>>x1=[1 1 1 1]; >>x2=[1 1 1 1]; >>g=conv(x1,x2) g=
1 2 3 4 3 2 1
4
如果要绘出图形来，则利用stem命令，即
>>n=1:7;
>>stem(n,g,'fill'),grid on,xlabel('n')
程序运行结果如图1-4所示。
图1-4 卷积结果图
对于给定函数的卷积和，我们应计算卷积结果的起始点及其长度。两个时限序列的卷积和长度一般等于两个序列长度的和减1。
【实例1-3】 已知某系统的单位取样响应为h?n??0.8?u?n??u?n?8??，试
n用MATLAB求当激励信号为x(n)?u(n)?u(n?4)时，系统的零状态响应。
解：MATLAB中可通过卷积求解零状态响应，即x(n)*h(n)。由题意可知，描述h(n)向量的长度至少为8，描述x(n)向量的长度至少为4，因此为了图形完整美观，我们将h(n)向量和x(n)向量加上一些附加的零值。MATLAB源程序为
>>nx=-1:5; %x(n)向量显示范围(添加了附加的零值) >>nh=-2:10; %h(n)向量显示范围(添加了附加的零值) >>x=uDT(nx)-uDT(nx-4);
>>h=0.8.^nh.*(uDT(nh)-uDT(nh-8)); >>y=conv(x,h);
>>ny1=nx(1)+nh(1); %卷积结果起始点
>>%卷积结果长度为两序列长度之和减1,即0到(length(nx)+length(nh)-2) >>%因此卷积结果的时间范围是将上述长度加上起始点的偏移值 >>ny=ny1+(0:(length(nx)+length(nh)-2));
5
>>subplot(311)
>>stem(nx,x,'fill'),grid on >>xlabel('n'),title('x(n)') >>axis([-4 16 0 3]) >>subplot(312)
>>stem(nh,h','fill'),grid on >>xlabel('n'),title('h(n)') >>axis([-4 16 0 3]) >>subplot(313)
>>stem(ny,y,'fill'),grid on
>>xlabel('n'),title('y(n)=x(n)*h(n)') >>axis([-4 16 0 3])
程序运行结果如图1-5所示。
图1-5 利用卷积和法求解系统的零状态响应
6
1.3 编程练习
1.
试用MATLAB命令求解以下离散时间系统的单位取样响应，并判断系统的稳定性。
（1）3y(n)?4y(n?1)?y(n?2)?x(n)?x(n?1)
5y(n)?6y(n?1)?10y(n?2)?x(n) 272. 已知某系统的单位取样响应为h?n??()n?u?n??u?n?10??，试用MATLAB
8求当激励信号为x(n)?u(n)?u(n?5)时，系统的零状态响应。
（2）附：
1. 单位取样序列
单位取样序列?(n)，也称为单位冲激序列，定义为
?(n)???1?0(n?0)(n?0) （12-1）
要注意，单位冲激序列不是单位冲激函数的简单离散抽样，它在n=0处是取确定的值1。在MATLAB中，冲激序列可以通过编写以下的impDT.m文件来实现，即
function y=impDT(n)
y=(n==0); %当参数为0时冲激为1,否则为0
调用该函数时n必须为整数或整数向量。
【实例2-1】 利用MATLAB的impDT函数绘出单位冲激序列的波形图。 解：MATLAB源程序为
>>n=-3:3; >>x=impDT(n);
>>stem(n,x,'fill'),xlabel('n'),grid on >>title('单位冲激序列') >>axis([-3 3 -0.1 1.1])
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