,.

（2）OLS残差与拟合值不相关，即 （1）

??e??Y?Yt?Yttt??Yt?tt?Y?ett?0。

??(Yttt?et)???e?Y??e＝0，??Y两边除以n，得

???Yt?Y??Y??Y，即Y的真实值和拟合值有共同的均值。

nn（2）

?X)e????e??????e???Y?(??Xe由于?e?0,?Xe?0（教材中已证明），?e?0，即因此， ?Y?eY??Cov(Y,e)?＝0，Y的拟合值与残差无关。??Y?etttttttttttttttt22tt3.4证明本章中（3.18）和（3.19）两式：

?)?（1）Var(??2?Xt2n?xt2

?)???,?（2）Cov(? （1）

X?2?x2t

?X,Y????X?u???Y?????)X????u?(??2???)X?(????)2X2???）（??u2?2u(??(??u)i2n?2?2?u??xun?xittt2???)2X2?X?(?

(?ui)2n2(u1?Lun)(x1u1?Lxnun)???)2X2?X?(?2n?xt?u?2i??uiujni?j2?xu?22ii??(xi?xj)uiuji?jn?xt2???)2X2?X?(?,.

两边取期望值，有：??ui2??uiuj?i?j2???）E（??E?2???xiui2??(xi?xj)uiuj????i?j???)2－2XE＋X2E(?2?????n????n?xt??等式右端三项分别推导如下：??u2i??uiu?E?j?i?j?iuj))???2?2???12?n2??n2(?E(ui)?2?E(ui?jn2?n??xiu2i??(xi?xj)ui?2XE?uj?i?j???n?x2t????2X12n?x2(?xiE(ui)??(xi?xj)E(u?2iuj))?2Xti???xijnx2?0t2X2E(????)2?X?2?x2t因此E（[????）2]??2X2?2?2(??x2222t?nX)??Xtn?0?x2?2?tn?xtn?x2t即Var(??)??2?X2tn?x2

t（2）

Y??????X,Y????X?u?????u?(????)XCov(??,??)?E（[????）(????)]?E[(u?(????)X)(????)]?E[(u(????)]?XE[(????)2]

?0?XE(????)（第一项为20的证明见本题（））1??XVar(??)??X?2?x2t3.5考虑下列双变量模型： 模型1：Yi??1??2Xi?ui

模型2：Yi??1??2(Xi?X)?ui

（1）?1和?1的OLS估计量相同吗？它们的方差相等吗？ （2）?2和?2的OLS估计量相同吗？它们的方差相等吗？

Q?xi＝0）（,.

??Y???X，注意到 （1）?12xi?Xi?X,?xi?0,从而x?0,则我们有?1＝Y???2x＝Y??)?Var(?1?1)?Var(??2?Xi2n?xi2

?2?xi2n?(xi?x)2??2?xi2n?xi2??2n由上述结果，可以看到，无论是两个截距的估计量还是它们的方差都不相同。 （2）

???2?xy?xi2ii?2,?(x?x)(Y?Y)?xy???(x?x)??xiii22ii22ii??)?Var(??容易验证，Var(?)＝22

?x这表明，两个斜率的估计量和方差都相同。

3.6有人使用1980－1994年度数据，研究汇率和相对价格的关系，得到如下结果：

??6.682?4.318XYttSe:(1.22)(1.333)其中，Y＝马克对美元的汇率

R2?0.528

X＝美、德两国消费者价格指数（CPI）之比，代表两国的相对价格 （1）请解释回归系数的含义； （2）Xt的系数为负值有经济意义吗？

（3）如果我们重新定义X为德国CPI与美国CPI之比，X的符号会变化吗？为什么？

（1）斜率的值 －4.318表明，在1980－1994期间，相对价格每上升一个单位，（GM/$）汇率下降约4.32个单位。也就是说，美元贬值。截距项6.682的含义是，如果相对价格为0，1美元可兑换6.682马克。当然，这一解释没有经济意义。

（2）斜率系数为负符合经济理论和常识，因为如果美国价格上升快于德国，则美国消费者将倾向于买德国货，这就增大了对马克的需求，导致马克的升值。

,.

（3）在这种情况下，斜率系数被预期为正数，因为，德国CPI相对于美国CPI越高，德国相对的通货膨胀就越高，这将导致美元对马克升值。

3.7随机调查200位男性的身高和体重，并用体重对身高进行回归，结果如下：

?eight??76.26?1.31HeightWSe:(2.15)(0.31)R2?0.81

其中Weight的单位是磅（lb），Height的单位是厘米（cm）。

（1）当身高分别为177.67cm、164.98cm、187.82cm时，对应的体重的拟合值为多少？

（2）假设在一年中某人身高增高了3.81cm，此人体重增加了多少？ （1）

?eight??76.26?1.31*177.67?156.49W?eight??76.26?1.31*164.98?139.86 W?eight??76.26?1.31*187.82?169.78W?eight?1.31*?height?1.31*3.81?4.99 （2）?W3.8设有10名工人的数据如下： X Y

10 7

10 5

8

8

6 9

7

9

10

11 10 12 6 10 7 10 11 10

其中 X=劳动工时， Y=产量

（1）试估计Y=α+βX + u（要求列出计算表格）； （2）提供回归结果（按标准格式）并适当说明； （3）检验原假设β=1.0。 (1) 序号 1 2 3 Yt Xt 11 10 10 7 12 10 yt?Yt?Y 1.4 0.4 2.4 xt?Xt?X 2 -1 2 xtyt xt2 yt2 Xt2 2.8 4 1.96 100 0.16 49 -0.4 1 4.8 4 5.76 100