数学试卷

313或－， |AB|，∴?ABD?300，∴m的斜率为3323p3x?，∴原点到直线m的距离d1=p， ∴直线m的方程为：y??324233x?2pb?0， x?b，代入x2?2py得，x2?设直线n的方程为：y??3342p∵n与C只有一个公共点， ∴?=p?8pb?0，∴b??，

3633pp， x?，∴原点到直线n的距离d2=∴直线n的方程为：y??1236∴坐标原点到m，n距离的比值为3.

由抛物线定义知|AD|?|FA|?2x0p)(x0?0)，则F(0,) 【解析2】由对称性设A(x0,2p222x0x0p2)?p????x0?3p2 点A,B关于点F对称得：B(?x0,p?2p2p23pp?p3p3p?0 得：A(3p,)，直线m:y?22x??x?3y?2223p3ppx2x33,) x?2py?y??y????x?p?切点P(362pp332 直线n:y?p33p3?(x?)?x?3y?p?0 63363p3p:?3。 26坐标原点到m,n距离的比值为29.【2019高考浙江文22】本题满分14分）如图，在直角坐标系xOy中，点P（1，抛物线C：y=2px（P＞0）的准线的距离为上的两动点，且线段AB被直线OM平分。

21）到25。点M（t，1）是C上的定点，A，B是C4

（1）求p,t的值。

（2）求△ABP面积的最大值。

【命题意图】本题主要考查了抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，同时考查解

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析几何的基本思想方法和运算求解能力. 【解析】

1?2pt?1???p?（1）由题意得?2. p5，得?1?????24?t?1（2）设A(x1,y1),B?x2,y2?，线段AB的中点坐标为Q(m,m) 由题意得，设直线AB的斜率为k（k?0）.

2??y1?2px1由?，得(y2?y1)(y1?y2)?k(x2?x1)，得k?2m?1

2??y2?2px2所以直线的方程为y?m?1(x?m)，即x?2my?2m2?m?0. 2m2??x?2my?2m?m?022由?，整理得y?2my?2m?m?0，

2??y?x2所以?4m?4m2，y1?y2?2m，y1y2?2m?m.从而得

AB?1?1y1?y2?1?4m24m?4m2， 2k设点P到直线AB的距离为d，则

d?1?2m?2m21?4m2，设?ABP的面积为S，则S?1AB?d?1?2(m?m2)?m?m2. 2由??4m?4m2?0，得0?m?1.

12，则S?t(1?2t). 212设S?t(1?2t)，0?t?，则S??1?6t2.

2令t?m?m，0?t?22由S??1?6t?0，得t?666?1?所以Smax?，故?ABP的面积的最大值为. ??0,?，

996?2?30.【2019高考湖南文21】（本小题满分13分） 在直角坐标系xOy中，已知中心在原点，离心率为x2+y2-4x+2=0的圆心.

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

1的椭圆E的一个焦点为圆C：2（Ⅱ）设P是椭圆E上一点，过P作两条斜率之积为

1的直线l1，l2.当直线l1，l2都与圆C2数学试卷

相切时，求P的坐标. 【答案】

【解析】（Ⅰ）由x?y?4x?2?0，得(x?2)?y?2.故圆Ｃ的圆心为点

2222x2y2(2,0),从而可设椭圆Ｅ的方程为2?2?1(a?b?0),其焦距为2c，由题设知

abc?2,e?c1?,?a?2c?4,b2?a2?c2?12.故椭圆Ｅ的方程为： a2x2y2??1. 1612（Ⅱ）设点p的坐标为(x0,y0)，l1,l2的斜分率分别为k1,k2.则l1,l2的方程分别为

1l1:y?y0?k1(x?x0),l2:y?y0?k2(x?x0),且k1k2?.由l1与圆c:(x?2)2?y2?2相

2切，得

2k1?y0?k12?1k1x0?2，

222?即 ?(2?x)?2k?2(2?x)yk?y00020?2?0. ??1同理可得 ??x0?(222)??2k2??022. 2?2(x2y0?k)2?y?0020从而k1,k2是方程??(2?x0)?2??k?2(2?x0)y0k?y0?2?0的两个实根，于是

?(2?x0)2?2?0,? ? ① 22????8(2?x)?y?2?0,00????2y0?2且k1k2??2. 2(2?x2)?222?x0y0??1,?10?161225x?8x?36?0.x?2,由?得解得或x?. 000025?y0?2?12??(2?x0)?22由x0??2得y0??3;由x0?5718,它们满足①式，故点Ｐ的坐标为 得y0??5518571857)，或(,?). (?2,3)，或(?2,?3)，或(,5555

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【点评】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系，考查运算能力，考查数形结合思想、函数与方程思想等数学思想方法.第一问根据条件设出椭圆方程，求出c,a,b即得椭圆E的方程，第二问设出点P坐标，利用过P点的两条直线斜率之积为

1，得出关于点P坐标的2一个方程，利用点P在椭圆上得出另一方程，联立两个方程得点P坐标. 31.【2019高考湖北文21】（本小题满分14分）

设A是单位圆x2+y2=1上任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C。

（1）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标。

（2）过原点斜率为K的直线交曲线C于P，Q两点，其中P在第一象限，且它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H，是否存在m,使得对任意的K>0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由。 21. 【答案】 解：（Ⅰ）如图1，设M(x,y)，A(x0,y0)，则由|DM|?m|DA|(m?0,且m?1)，

可得x?x0，|y|?m|y0|，所以x0?x，|y0|?1|y|. ① m因为A点在单位圆上运动，所以x02?y02?1. ②

y2将①式代入②式即得所求曲线C的方程为x?2?1 (m?0,且m?1).

m2因为m?(0,1)(1,??)，所以

当0?m?1时，曲线C是焦点在x轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为(?1?m2,0)，(1?m2,0)； 当m?1时，曲线C是焦点在y轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为(0,?m2?1)，(0,m2?1).

（Ⅱ）解法1：如图2、3，设P(x1,kx1)，则Q(?x1,?kx1)， H(x2,y2)，N(0,kx1)，?k?0，

直线QN的方程为y?2kx?kx1，将其代入椭圆C的方程并整理可得 (m2?4k2)x2?4k2x1x?k2x12?m2?0.

依题意可知此方程的两根为?x1，x2，于是由韦达定理可得 4k2x1m2x1，即x2?2. ?x1?x2??2m?4k2m?4k22km2x1因为点H在直线QN上，所以y2?kx1?2kx2?2.

m?4k24k2x12km2x1于是PQ?(?2x1,?2kx1)，PH?(x2?x1,y2?kx1)?(?2,).

m?4k2m2?4k24(2?m2)k2x12而PQ?PH等价于PQ?PH??0， 22m?4k即2?m2?0，又m?0，得m?2，