2019年高考真题文科数学解析分类汇编9:圆锥曲线 下载本文

数学试卷

1|k|4?6k2|k|4?6k210?所以△AMN的面积为S?|MN|?d?. 由,解得2221?2k1?2k3k??1.

25.【2019高考山东文21】 (本小题满分13分)

3x2y2如图,椭圆M:2?2?1(a?b?0)的离心率为,直线x??a和y??b所围成的矩

2ab形ABCD的面积为8.

(Ⅰ)求椭圆M的标准方程;

(Ⅱ) 设直线l:y?x?m(m?R)与椭圆M有两个不同的交点P,Q,l与矩形ABCD有两个不同的交点S,T.求

|PQ|的最大值及取得最大值时m的值. |ST|c3a2?b23【答案】(21)(I)e????……①

a2a24矩形ABCD面积为8,即2a?2b?8……② 由①②解得:a?2,b?1,

x2∴椭圆M的标准方程是?y2?1.

4?x2?4y2?4,?5x2?8mx?4m2?4?0, (II)??y?x?m,84m2?4设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1?x2??m,x1x2?,

55由??64m2?20(4m2?4)?0得?5?m?5. 4m2?442?8?|PQ|?2??m??4?5?m2. 55?5?当l过A点时,m?1,当l过C点时,m??1.

①当?5?m??1时,有S(?m?1,?1),T(2,2?m),|ST|?2(3?m), |PQ|45?m2446?????1, |ST|5(3?m)25t2t2|PQ|13452其中t?m?3,由此知当?,即t?,m???(?5,?1)时,取得最大值5. |ST|t4335数学试卷

②由对称性,可知若1?m?5,则当m?③当?1?m?1时,|ST|?22,由此知,当m?0时,

|PQ|52时,取得最大值5.

|ST|35|PQ|2?5?m2, |ST|5|PQ|2取得最大值5. |ST|5|PQ|52综上可知,当m??和0时,取得最大值5.

|ST|3526.【2102高考福建文21】(本小题满分12分)

如图,等边三角形OAB的边长为83,且其三个顶点均在抛物线E:x2=2py(p>0)上。

(1) 求抛物线E的方程;

(2) 设动直线l与抛物线E相切于点P,与直线y=-1相较于点Q。证明以PQ为直径的

圆恒过y轴上某定点。

考点:圆锥曲线的定义,直线和圆锥曲线的位置关系,定值的证明。

难度:难。

分析:本题考查的知识点为抛物线方程的求解,直线和圆锥曲线的联立,定值的表示及计算。

解答:

22(I)设A(x1,y1),B(x2,y2);则x1?2py1,x2?2py2

222OA?OB?x12?y12?x2?y2?2py?1y?y12py?22?(y1?y2)(2p?y1?y)2?0?y?1y(22p,y,y1?0)2

2 得:点A,B关于y轴对称(lfxlby)

OA?OB?AB?83?A(?43,12),B(43,12)

x2?2?抛物线E的方程为x2?4y 代入抛物线E的方程得:p?2y

数学试卷

2x0121 (II)设P(x0,);则y?x?y??x

442 过点P的切线方程为y?121112 x0?x0(x?x0)即y?x0x?x042242x0?4 令y??1?Q(,?1)

2x02x0?4 设M(0,t)满足:MPMQ?0及MP?(x0,y0?t),MQ?(,?1?t)

2x022 得:4(t?t?2)?(1?t)x0?0对x0?0均成立

?t?t?2?0,1?t?0?t?1 以PQ为直径的圆恒过y轴上定点M(0,1)

27.【2019高考上海文22】(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分5分,第2小题满分5分,第3小题满分6分

在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C:2x?y?1

(1)设F是C的左焦点,M是C右支上一点,若MF?22,求点M的坐标; (2)过C的左焦点作C的两条渐近线的平行线,求这两组平行线围成的平行四边形的面积; (3)设斜率为k(k?2)的直线l交C于P、Q两点,若l与圆x?y?1相切,求证:OP⊥OQ [解](1)双曲线C:x21222222?y2?1,左焦点F(?62262,0).

22, ……22 设M(x,y),则|MF|2?(x? 由M是右支上一点,知x? 所以M(6222)?y2?(3x?)分

62,所以|MF|?3x?22?22,得x?.

,?2). ……5分

22 (2)左顶点A(?,0),渐近线方程:y??2x.

2x平行的直线方程为:y?2(x?22 过A与渐近线y?),即y?2x?1.

数学试卷

2 解方程组??y??2x,得???x??4?y?2x?1??y?1. ……8分

2 所求平行四边形的面积为S?|OA||y|?24. ……10分

(3)设直线PQ的方程是y?kx?b.因直线与已知圆相切,故

|b|k2?1?1,

即b2?k2?1 (*).

由??y?kx?b(2?2x2?y2?1,得?k2)x2?2kbx?b2?1?0. 设P(x??x1?x2?2kb1, y1)、Q(x2, y2),则?2?k2??x1x2??1?b2. 2?k2 y1y2?(kx1?b)(kx2?b),所以

OP?OQ?x221x2?y1y2?(1?k)x1x2?kb(x1?x2)?b

(1?k2)(?1?b2)2?k2?2k2b2?1?b2?k22?k2?2?k2.

由(*)知OP?OQ?0,所以OP⊥OQ. ……16分 【点评】本题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系.特别要注意直线与双曲线的关系问题,在双曲线当中,最特殊的为等轴双曲线,它的离心率为

2,它的渐近线为y??x,并且相互垂直,这些性质的运用可以大大节省解题时间,本

题属于中档题 .

28.【2019高考新课标文20】(本小题满分12分)

设抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,准线为l,A为C上一点,已知以F为圆心,FA为半径的圆F交l于B,D两点.

(I)若∠BFD=90°,△ABD的面积为42,求p的值及圆F的方程;

(II)若A,B,F三点在同一直线m上,直线n与m平行,且n与C只有一个公共点,求坐标原点到m,n距离的比值.

【命题意图】本题主要考查圆的方程、抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系、点到直线距离公式、线线平行等基础知识,考查数形结合思想和运算求解能力.

【解析】设准线l于y轴的焦点为E,圆F的半径为r, 则|FE|=p,|FA|?|FB|=|FD|=r,E是BD的中点,

(Ⅰ) ∵?BFD?900,∴|FA|?|FB|=|FD|=2p,|BD|=2p,

设A(xp0,y0),根据抛物线定义得,|FA|=

2?y0, ∵?ABD的面积为42,∴S1p1?ABD=2|BD|(y0?2)=2?2p?2p=42,解得p=2,

∴F(0,1), FA|=22, ∴圆F的方程为:x2?(y?1)2?8;

(Ⅱ) 【解析1】∵A,B,F三点在同一条直线m上, ∴AB是圆F的直径,

?ADB?900,