平面向量的实际背景及基本概念
【要点梳理】
要点一：向量的概念
1．向量:既有大小又有方向的量叫做向量.
2．数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量． 要点诠释：
（1）本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移． （2）看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素．
（3）向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小． 要点二：向量的表示法
1．有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度． 2.向量的表示方法: (1)字母表示法:如a,b,c,等.
(2)几何表示法:以A为始点，B为终点作有向线段AB（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段AB表示向量，通常我们就说向量AB.
要点诠释：
（1）用字母表示向量便于向量运算；
（2）用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性．应该注意的是有向线段是向量的表示，不是说向量就是有向线段．由于向量只含有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，与它的始点的位置无关，即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．
要点三：向量的有关概念
1．向量的模:向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度). 要点诠释：
（1）向量a的模|a|?0．
（2）向量不能比较大小，但|a|是实数，可以比较大小．
2．零向量:长度为零的向量叫零向量.记作0，它的方向是任意的．
3．单位向量:长度等于1个单位的向量. 要点诠释：
（1）在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定；
（2）将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同． 4．相等向量:长度相等且方向相同的向量. 要点诠释：
在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等． 要点四：向量的共线或平行
方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量). 规定:0与任一向量共线. 要点诠释：
1
1.零向量的方向是任意的，注意0与0的含义与书写区别.
2.平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
3．共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量． 【典型例题】
类型一：向量的基本概念
例1．下列各题中，哪些是向量？哪些不是向量？ （1）密度；（2）浮力；（3）风速；（4）温度．
【变式1】下列物理量中，不能称为向量的是（ ）
A． 质量 B． 速度 C．位移 D．力 例2．下列说法正确的是（ ）． A．向量AB与CD是共线向量，则A，B，C，D必在同一直线上 B．向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反 C．向量AB的长度与向量BA的长度相等 D．单位向量都相等
【变式1】判断下列命题的正误： （1）零向量与非零向量平行；
（2）长度相等方向相反的向量共线；
（3）若向量a与向量b不共线，则a与b都是非零向量；
（4）若两个向量相等，则它们的起点、方向、长度必须相等；
（5）若两个向量的模相等，则这两个向量不是相等向量就是相反向量。 （6）若非零向量AB,CD是共线向量，则A、B、C、D四点共线； （7）共线的向量一定相等； （8）相等的向量一定共线．
【变式2】下列说法正确的个数是( ) ①向量AB//DC，则直线AB//直线CD;
②两个向量当且仅当它们的起点相同，终点也相同时才相等； ③向量AB既是有向线段AB；
④在平行四边形ABCD中，一定有AB?DC.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 类型二：向量的表示方法
例3．在如图所示的坐标系中，用直尺和圆规画出下列向量． （1）|OA|?3，点A在点O正西方向；
（2）|OB|?32，点B在点O北偏西45°方向；
（3）|OC|?2，点C在点O南偏东60°方向．
2
例4．如下图，E、F、G、H分别是四边形ABCD的各边中点，分别指出图中： (1)与向量HG相等的向量； (2)与向量HG平行的向量； (3)与向量HG模相等的向量；
(4)与向量HG模相等、方向相反的向量．
【变式1】如图，点D、E、F分别是△ABC的各边中点．在右图所示向量中， （1）写出与ED，DF，FE相等的向量；
（2）写出模相等的向量．
【变式2】 （1）与向量OA相等的向量有多少个？并把这些向量写出来． （2）是否存在与向量OA长度相等、方向相反向量？ （3）与向量OA共线的向量有哪些？ 类型三：利用向量相等或共线进行证明
例5． 如图所示，四边形ABCD中，AB?DC，N、M分别是AD、BC上的点，且CN?MA．
求证：DN?MB．
【变式1】如图，在△ABC中，已知向量AD?DB，DF?BE，求证：
DE?AF．
【巩固练习】
1．下列物理量中不是向量的个数是（ ）．
（1）质量 （2）速度 （3）力 （4）加速度 （5）路程 （6）密度 （7）功 （8）电流强度 A．5 B．4 C．3 D．2
3
2．下列说法中错误的是（ ）．
A．有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段 B．若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量 C．长度相等但方向相反的两个向量不一定共线 D．方向相反的两个非零向量必不相等 3．下列说法正确的是（ ）．
①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a，b是单位向量，则a=b；③若非零向量AB与CD是共线向量，则A，B，C，D四点共线．
A．① B．② C．③ D．①和③
4．如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A、B、C、D、E、F、O中的任意一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量OA外，与向量OA共线的向量共有( )
A．6个 C．8个
B．7个 D．9个
5．若|AB|＝|AD|且BA＝CD，则四边形ABCD的形状为( )
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形
D．等腰梯形
6．在同一平面上，把所有长度为1的向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是（ ）．
A．一条线段 B．一段圆弧 C．圆上一群孤立的点 D．一个半径为1的圆 7．四边形ABCD、CEFG、CGHD都是全等的菱形，HE与CG相交于点M，则下列关系不一定成立的是( ) A．|AB|＝|EF| B. AB与FH共线
C.BD与EH共线 D.DC与EC共线 8．下列命题正确的是( )
A．向量a与b共线，向量b与c共线，则向量a与c共线 B．向量a与b不共线，向量b与c不共线，则向量a与c不共线 →→
C．向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点一定共线 D．向量a与b不共线，则a与b都是非零向量
9．对于下列命题：
①相反向量就是方向相反的向量；②不相等的向量一定不平行；③相等的向量一定共线；④共线的单位向量一定相等；⑤共线的两个向量一定在同一条直线上。 其中真命题的序号为 。
10．已知a、b、c为非零向量，且a与b不共线，若c∥a，则c与b必定________．
11．若某人从点A出发向东走3km至点B，从点B向北走33km至点C，则点C相对于点A的位置向量为 。
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12．一艘船以5km/h的速度出发向垂直于对岸的方向行驶，而船实际的航行方向与水流成30，则船的实际速度的大小为 ，水流速度的大小为 。
13．在直角坐标系中，画出下列向量，使它们的起点都是原点O，并求出终点坐标． （1）|a|=2，a的方向与x轴正方向夹角为60°，与y轴正方向夹角为30°；
（2）|a|=4，a的方向与x轴正方向的夹角为30°，与y轴正方向的夹角为120°；
（3）|a|?42，a的方向与x轴、y轴正方向的夹角都是135°．
14．某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向按东北方向走了102米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米，刚好到达B点的正北方向D点． （1）作出向量AB，BC，CD； （2）求AD的模．
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