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1995年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)
1?x(n),则f(x)? . 1?xy?(2) 设z?xyf(),f(u)可导,则xz?x?yzy? . x(1) 设f(x)?(3) 设f?(lnx)?1?x,则f(x)? .
?100?????1(4) 设A?220,A?是A的伴随矩阵,则(A)? . ???345???2(5) 设X1,X2,L,Xn是来自正态总体N(?,?)的简单随机样本,其中参数?和?未知,
n1n22记X??Xi,Q??(Xi?X),则假设H0:??0的t检验使用统计量t?_____. ni?1i?12
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设f(x)为可导函数,且满足条件limx?0f(1)?f(1?x)??1,则曲线y?f(x)在点
2x(1,f(1))处的切线斜率为 ( )
(A) 2 (B) ?1 (C)
1 (D) ?2 2(2) 下列广义积分发散的是 ( )
111dx (A) ?dx (B) ?2?1?1sinx1?x1 (C)
???0e?x2dx (D) ???21dx xln2x(3) 设矩阵Am?n的秩为r(A)?m?n,Em为m阶单位矩阵,下述结论中正确的是 ( )
(A) A的任意m个行向量必线性无关 (B) A的任意一个m阶子式不等于零 (C) 若矩阵B满足BA?0,则B?0
(D) A通过初等行变换,必可以化为(Em,0)的形式
(4) 设随机变量X和Y独立同分布,记U?X?Y,V?X?Y,则随机变量U与V必然
( )
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(A) 不独立 (B) 独立 (C) 相关系数不为零 (D) 相关系数为零 (5) 设随即变量X服从正态分布N(?,?),则随?的增大,概率PX???? ( )
(A) 单调增大 (B) 单调减少 (C) 保持不变 (D) 增减不定
三、(本题满分6分)
2???2?x2(1?cosx),x?0?设f(x)??1,x?0,试讨论f(x)在x?0处的连续性和可导性.
?1x??cost2dt,x?0?x0
四、(本题满分6分)
已知连续函数f(x)满足条件f(x)?
五、(本题满分6分)
将函数y?ln(1?x?2x)展成x的幂级数,并指出其收敛区间.
六、(本题满分5分)
计算
2?3x0?t?f??dt?e2x,求f(x). ?3???????????min{x,y}e?(x2?y2)dxdy.
七、(本题满分6分)
设某产品的需求函数为Q?Q(p),收益函数为R?pQ,其中p为产品价格,Q为需求量(产品的产量),Q(p)为单调减函数.如果当价格为p0,对应产量为Q0时,边际收益
dRdR?a?0,收益对价格的边际效应
dQQ?Q0dp求p0和Q0.
八、(本题满分6分)
?c?0,需求对价格的弹性Ep?b?1.
p?p0设f(x)、g(x)在区间[?a,a](a?0)上连续,g(x)为偶函数,且f(x)满足条件
f(x)?f(?x)?A(A为常数).
(1) 证明
?a?af(x)g(x)dx?A?g(x)dx；
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?(2) 利用(1)的结论计算定积分九、(本题满分9分)
??2?sinxarctanexdx.
2已知向量组(Ⅰ)?1,?2,?3；(Ⅱ)?1,?2,?3,?4；(Ⅲ)?1,?2,?3,?5,如果各向量组的秩 分别为r(I)?r(II)?3,r(III)?4.
证明:向量组?1,?2,?3,?5??4的秩为4.
十、(本题满分10分)
22已知二次型f(x1,x2,x3)?4x2?3x3?4x1x2?4x1x3?8x2x3.
(1) 写出二次型f的矩阵表达式；
(2) 用正交变换把二次型f化为标准形,并写出相应的正交矩阵.
十一、(本题满分8分)
假设一厂家生产的每台仪器,以概率0.70可以直接出厂；以概率0.30需进一步调试, 经调试后以概率0.80可以出厂；以概率0.20定为不合格品不能出厂.现该厂新生产了
n(n?2)台仪器(假设各台仪器的生产过程相互独立).求：
(1) 全部能出厂的概率?；
(2) 其中恰好有两台不能出厂的概率?； (3) 其中至少有两台不能出厂的概率?.
十二、(本题满分8分)
已知随机变量X和Y的联合概率密度为
?4xy,0?x?1,0?y?1, f(x,y)??0,其他,?求X和Y联合分布函数F(x,y).
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1995年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)
2(?1)nn!(1)【答案】
(1?x)n?1【解析】由于f(x)?1?x2??1?2(1?x)?1?1, 1?x1?xf?(x)?2?(?1)(1?x)?2, f??(x)?2?(?1)(?2)(1?x)?3,L,
所以 f(n)(x)?2?(?1)n!(1?x)n?(n?1)2(?1)nn!?. (1?x)n?1(2)【答案】2xyf??y?? ?x?【解析】根据复合函数求导法则,
y?y??y?y?y2?y????z?f???, x?yf???xyf??????2??yf????x??x??x??x?x?x??y??y?1?y??y???z??xf?xyf??xf?yfy????????. xxxx???????x??所以 xz?x?yzy?xyf??y?2??y??y??y??y?2??yf?xyf?yf?2xyf?????????.
xxxx?????????x?【相关知识点】复合函数求导法则：y??(f(x))的导数为y????(f(x))f?(x). (3)【答案】x?e?C
【解析】在f?(lnx)?1?x中令lnx?t,则f?(t)?1?e,从而
txf(t)???1?et?dt?t?et?C?f(x)?x?ex?C.
?100?1??(4)【答案】?220?
10???345?A?A??1A?E,故?A??【解析】由AA?AE,有. AA?精品文档