∵∠APB＝135°， ∴∠APO+∠OPB＝135°， ∴∠OAP＝∠OPB， ∴△AOP∽△POB， ∴

2

，

∴OP＝OA?OB，

∴∠APB是∠MON的智慧角；

（2）解：∵∠APB是∠MON的智慧角， ∴OA?OB＝OP， ∴

2

，

∵P为∠MON的平分线上一点， ∴∠AOP＝∠BOP α， ∴△AOP∽△POB， ∴∠OAP＝∠OPB，

∴∠APB＝∠OPB+∠OPA＝∠OAP+∠OPA＝180° α， 即∠APB＝180° α；

过点A作AH⊥OB于H，连接AB；如图1所示： 则S△AOB OB?AH OB?OAsinα OP?sinα， ∵OP＝2， ∴S△AOB＝2sinα；

（3）设点C（a，b），则ab＝3，过点C作CH⊥OA于H；分两种情况： ①当点B在y轴正半轴上时；当点A在x轴的负半轴上时，如图2所示： BC＝2CA不可能；

当点A在x轴的正半轴上时，如图3所示： ∵BC＝2CA， ∴

2

，

∵CH∥OB，

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∴△ACH∽△ABO， ∴

，

∴OB＝3b，OA ， ∴OA?OB ?3b ， ∵∠APB是∠AOB的智慧角， ∴OP ， ∵∠AOB＝90°，OP平分∠AOB， ∴点P的坐标为：（

，）；

②当点B在y轴的负半轴上时，如图4所示： ∵BC＝2CA， ∴AB＝CA，

在△ACH和△ABO中，

∠ ∠

，

∴△ACH≌△ABO（AAS）， ∴OB＝CH＝b，OA＝AH a， ∴OA?OB a?b ， ∵∠APB是∠AOB的智慧角， ∴OP ， ∵∠AOB＝90°，OP平分∠AOB，

∴点P的坐标为：（， ）；

综上所述：点P的坐标为：（

，），或（， ）．

第22页（共26页）

26．（14分）如图，在平面直角坐标系中，点M是第一象限内一点，过M的直线分别交x轴，y轴的正半轴于A，B两点，且M是AB的中点．以OM为直径的⊙P分别交x轴，y轴于C，D两点，交直线AB于点E（位于点M右下方），连结DE交OM于点K． （1）若点M的坐标为（3，4）， ①求A，B两点的坐标； ②求ME的长． （2）若

3，求∠OBA的度数．

（3）设tan∠OBA＝x（0＜x＜1），

y，直接写出y关于x的函数解析式．

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【解答】解：（1）①连接DM、MC，如图1． ∵OM是⊙P的直径， ∴∠MDO＝∠MCO＝90°． ∵∠AOB＝90°， ∴四边形OCMD是矩形， ∴MD∥OA，MC∥OB， ∴

，

．

∵点M是AB的中点，即BM＝AM， ∴BD＝DO，AC＝OC． ∵点M的坐标为（3，4）， ∴OB＝2OD＝8，OA＝2OC＝6，

∴点B的坐标为（0，8），点A的坐标为（6，0）； ②在Rt△AOB中，OA＝6，OB＝8， ∴AB 10． ∴BM AB＝5．

∵∠OBM＝∠EBD，∠BOM＝∠BED， ∴△OBM∽△EBD， ∴

，

∴

，

∴BE ，

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