ruize
解 设公差为d，则am＝a1＋(m－1)d， an＝a1＋(n－1)d， ap＝a1＋(p－1)d， aq＝a1＋(q－1)d， ar＝a1＋(r－1)d， as＝a1＋(s－1)d，
∴am＋an＋ap＝3a1＋(m＋n＋p－3)d， aq＋ar＋as＝3a1＋(q＋r＋s－3)d， ∵m＋n＋p＝q＋r＋s， ∴am＋an＋ap＝aq＋ar＋as.
2．在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝ . ★答案★ 20
解析 ∵a3＋a8＝10，∴a3＋a3＋a8＋a8＝20. ∵3＋3＋8＋8＝5＋5＋5＋7， ∴a3＋a3＋a8＋a8＝a5＋a5＋a5＋a7， 即3a5＋a7＝2(a3＋a8)＝20.
反思感悟 解决等差数列运算问题的一般方法：一是灵活运用等差数列{an}的性质；二是利用通项公式，转化为等差数列的首项与公差的求解，属于通用方法；或者兼而有之．这些方法都运用了整体代换与方程的思想．
跟踪训练2 在等差数列{an}中，已知a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，求a3＋a6＋a9的值． 解 方法一 ∵(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7)＝3d， (a3＋a6＋a9)－(a2＋a5＋a8)＝3d，
∴a1＋a4＋a7，a2＋a5＋a8，a3＋a6＋a9成等差数列． ∴a3＋a6＋a9＝2(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7) ＝2×33－39＝27.
方法二 ∵a1＋a4＋a7＝a1＋(a1＋3d)＋(a1＋6d) ＝3a1＋9d＝39， ∴a1＋3d＝13，①
∵a2＋a5＋a8＝(a1＋d)＋(a1＋4d)＋(a1＋7d) ＝3a1＋12d＝33. ∴a1＋4d＝11，②
??d＝－2，联立①②解得?
?a＝19.?1
∴a3＋a6＋a9＝(a1＋2d)＋(a1＋5d)＋(a1＋8d)
ruize
＝3a1＋15d＝3×19＋15×(－2)＝27. 题型三 等差数列的设法与求解
例3 已知三个数成单调递增等差数列，它们的和等于18，它们的平方和等于116，求这三个数．
解 设这三个数分别为a－d，a，a＋d，且d>0.
???a－d?＋a＋?a＋d?＝18，
由题意可得?
??a－d?2＋a2＋?a＋d?2＝116，??a＝6，?a＝6，??
解得?或?
??d＝2d＝－2.??
∵d>0，∴a＝6，d＝2. ∴这个数列是4,6,8.
反思感悟 设等差数列的三个技巧
(1)对于连续奇数项的等差数列，可设为：…，x－d，x，x＋d，…，此时公差为d.
(2)对于连续偶数项的等差数列，通常可设为：…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，此时公差为2d.
(3)等差数列的通项可设为an＝pn＋q.
跟踪训练3 三个数成等差数列，这三个数的和为6，三个数之积为－24，求这三个数． 解 设这三个数分别为a－d，a，a＋d.
???a－d?＋a＋?a＋d?＝6，由题意可得?
??a－d?·a·?a＋d?＝－24，????a＝2，?a＝2，
解得?或?
??d＝4d＝－4.??
∴所求三个数为－2,2,6或6,2，－2.
ruize
数列问题如何选择运算方法
典例 等差数列{an}中，a3＋a7＋2a15＝40，求a10. 解 方法一 设{an}的公差为d.
则a3＋a7＋2a15＝a1＋2d＋a1＋6d＋2(a1＋14d) ＝4a1＋36d＝4(a1＋9d) ＝4a10＝40， ∴a10＝10.
方法二 ∵a3＋a7＋2a15＝a3＋a7＋a15＋a15＝a10＋a10＋a10＋a10＝40， ∴a10＝10.
[素养评析] 等差数列中的计算大致有两条路：一是都化为基本量(a1，d，n)然后解方程(组)；二是借助等差数列性质简化计算．前者是通用方法，但计算量大，后者不一定每个题都能用，能用上会使计算简单些，所以建议学习者立足通法，注意观察各项序号特点，能巧则巧，但不要刻意追求巧法.
ruize
1．在等差数列{an}中，已知a3＝10，a8＝－20，则公差d等于( ) A．3 B．－6 C．4 D．－3 ★答案★ B
解析 由等差数列的性质得a8－a3＝(8－3)d＝5d， －20－10
所以d＝＝－6.
5
2．在等差数列{an}中，已知a4＝2，a8＝14，则a15等于( ) A．32 B．－32 C．35 D．－35 ★答案★ C
解析 由a8－a4＝(8－4)d＝4d＝14－2＝12，得d＝3， 所以a15＝a8＋(15－8)d＝14＋7×3＝35.
3．等差数列{an}中，a4＋a5＝15，a7＝12，则a2等于( ) A．3 3C. 2
★答案★ A
解析 由数列的性质，得a4＋a5＝a2＋a7， 所以a2＝15－12＝3.
4．设公差为－2的等差数列{an}，如果a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50，那么a3＋a6＋a9＋…＋a99等于( )
A．－182 B．－78 C．－148 D．－82 ★答案★ D
解析 a3＋a6＋a9＋…＋a99
＝(a1＋2d)＋(a4＋2d)＋(a7＋2d)＋…＋(a97＋2d)
B．－3 3D．－ 2