高中数学:第二章 数列2.2 第2课时 下载本文

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解 设公差为d,则am=a1+(m-1)d, an=a1+(n-1)d, ap=a1+(p-1)d, aq=a1+(q-1)d, ar=a1+(r-1)d, as=a1+(s-1)d,

∴am+an+ap=3a1+(m+n+p-3)d, aq+ar+as=3a1+(q+r+s-3)d, ∵m+n+p=q+r+s, ∴am+an+ap=aq+ar+as.

2.在等差数列{an}中,已知a3+a8=10,则3a5+a7= . ★答案★ 20

解析 ∵a3+a8=10,∴a3+a3+a8+a8=20. ∵3+3+8+8=5+5+5+7, ∴a3+a3+a8+a8=a5+a5+a5+a7, 即3a5+a7=2(a3+a8)=20.

反思感悟 解决等差数列运算问题的一般方法:一是灵活运用等差数列{an}的性质;二是利用通项公式,转化为等差数列的首项与公差的求解,属于通用方法;或者兼而有之.这些方法都运用了整体代换与方程的思想.

跟踪训练2 在等差数列{an}中,已知a1+a4+a7=39,a2+a5+a8=33,求a3+a6+a9的值. 解 方法一 ∵(a2+a5+a8)-(a1+a4+a7)=3d, (a3+a6+a9)-(a2+a5+a8)=3d,

∴a1+a4+a7,a2+a5+a8,a3+a6+a9成等差数列. ∴a3+a6+a9=2(a2+a5+a8)-(a1+a4+a7) =2×33-39=27.

方法二 ∵a1+a4+a7=a1+(a1+3d)+(a1+6d) =3a1+9d=39, ∴a1+3d=13,①

∵a2+a5+a8=(a1+d)+(a1+4d)+(a1+7d) =3a1+12d=33. ∴a1+4d=11,②

??d=-2,联立①②解得?

?a=19.?1

∴a3+a6+a9=(a1+2d)+(a1+5d)+(a1+8d)

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=3a1+15d=3×19+15×(-2)=27. 题型三 等差数列的设法与求解

例3 已知三个数成单调递增等差数列,它们的和等于18,它们的平方和等于116,求这三个数.

解 设这三个数分别为a-d,a,a+d,且d>0.

???a-d?+a+?a+d?=18,

由题意可得?

??a-d?2+a2+?a+d?2=116,??a=6,?a=6,??

解得?或?

??d=2d=-2.??

∵d>0,∴a=6,d=2. ∴这个数列是4,6,8.

反思感悟 设等差数列的三个技巧

(1)对于连续奇数项的等差数列,可设为:…,x-d,x,x+d,…,此时公差为d.

(2)对于连续偶数项的等差数列,通常可设为:…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,…,此时公差为2d.

(3)等差数列的通项可设为an=pn+q.

跟踪训练3 三个数成等差数列,这三个数的和为6,三个数之积为-24,求这三个数. 解 设这三个数分别为a-d,a,a+d.

???a-d?+a+?a+d?=6,由题意可得?

??a-d?·a·?a+d?=-24,????a=2,?a=2,

解得?或?

??d=4d=-4.??

∴所求三个数为-2,2,6或6,2,-2.

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数列问题如何选择运算方法

典例 等差数列{an}中,a3+a7+2a15=40,求a10. 解 方法一 设{an}的公差为d.

则a3+a7+2a15=a1+2d+a1+6d+2(a1+14d) =4a1+36d=4(a1+9d) =4a10=40, ∴a10=10.

方法二 ∵a3+a7+2a15=a3+a7+a15+a15=a10+a10+a10+a10=40, ∴a10=10.

[素养评析] 等差数列中的计算大致有两条路:一是都化为基本量(a1,d,n)然后解方程(组);二是借助等差数列性质简化计算.前者是通用方法,但计算量大,后者不一定每个题都能用,能用上会使计算简单些,所以建议学习者立足通法,注意观察各项序号特点,能巧则巧,但不要刻意追求巧法.

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1.在等差数列{an}中,已知a3=10,a8=-20,则公差d等于( ) A.3 B.-6 C.4 D.-3 ★答案★ B

解析 由等差数列的性质得a8-a3=(8-3)d=5d, -20-10

所以d==-6.

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2.在等差数列{an}中,已知a4=2,a8=14,则a15等于( ) A.32 B.-32 C.35 D.-35 ★答案★ C

解析 由a8-a4=(8-4)d=4d=14-2=12,得d=3, 所以a15=a8+(15-8)d=14+7×3=35.

3.等差数列{an}中,a4+a5=15,a7=12,则a2等于( ) A.3 3C. 2

★答案★ A

解析 由数列的性质,得a4+a5=a2+a7, 所以a2=15-12=3.

4.设公差为-2的等差数列{an},如果a1+a4+a7+…+a97=50,那么a3+a6+a9+…+a99等于( )

A.-182 B.-78 C.-148 D.-82 ★答案★ D

解析 a3+a6+a9+…+a99

=(a1+2d)+(a4+2d)+(a7+2d)+…+(a97+2d)

B.-3 3D.- 2