8.1设一根长为l的棒有均匀初温度t0,此后使其两端在恒定的t1（x＝0）及t2>t1>t0。棒的四周保持绝热。试画出棒中温度分布随时间变法的示意曲线及最终的温度分布曲线。 解：由于棒的四周保持绝热，因而此棒中的温度分布相当于厚为l的无限大平板中的分布，随时间而变化的情形定性的示于图中.

8.2作为一种估算，可以对汽轮机启动过程中汽缸壁的升温过程作近似分析：把汽缸壁看成是一维的平壁，启动前汽缸壁温度均匀并为t0，进入汽轮机的蒸汽温度与时间成线性关系，及

tf?tf0???，其中

?为 蒸汽温速率，汽缸壁与蒸汽间的表面传热系数h为常数，汽

缸壁外表面绝热良好。试对这一简化模型列出汽缸壁中温度的数学描写式。

?t?2t?a2???x （0?x??） 解:

t(x,o)?t0??

（0?x??）

?t?ht?(tf0?w?)?x，x??

???t?0，x?0 ?x8.3汽轮机在启动一段时间后，如果蒸汽速度保持匀速上升，则汽缸壁中的温度变化会达到或接近这样的工况：壁中各点的温度对时间的偏导数即不随时间而异，又不随地点而变（称准稳态工况）。试对准工况导出汽缸壁中最大温差的计算公式。

解：把气缸壁作为平壁处理且假定其外表面绝热，

如右图所示，则准稳态工况时气缸壁中温度分布可用下列数学式描写：

d2twdt?,x?0,?0,x??,t?tw2dxd2?a

式中w为气缸壁的升温速度，K/s。

1wx21w?2t??c1x?c,由边界条件得，c1?0,c2?tw2?,2a2a上式的通解为 1w(x2??2)t??tw2,最大温差是x?0及x??处的壁温差其值为2a故得 ?t?tw21w?21w?2?(??tw2)?,2a2a

8.4有两块同样材料的平板A和B，A的厚度是B的两倍，从同一高温炉中取出后置于冷流体中淬火，流体与各表面的表面传热系数可视为无穷大。已知板B中心面的过余温度下降到初始值得一半需要20分钟，问板A中心面达到同样的过余温度需要多长时间？

解：已知B的?1时刻下中心过余温度与初始过余温度之比：

?m1? ?02此时Fo1为

??1?m1? ?，同时A板的时刻下中心过余温度与初始过余温度之比22?1?02??2 2?2此时Fo2为

所以Fo1和Fo2相等，已知?1?20分钟 可得?2?80分钟

8.5某一瞬间，一无内热源的无限大平板中的温度分布可以表示成t1=c1x+c2的形式，其中c1、c2为已知的常数，试确定：（1）此时刻在x=0的表面处的热流密度；（2）此时刻平板平均温度随时间的变化率，物性已知且为常数。

2

?t???c2 ?x1x12（2） t??0t1dx?c1x?c2

x3解：q????t?2t2??ac1 ???x238.6一个长木棒，其直径为5cm，初始温度均匀为20℃。现突然放入温度为500℃的热空气中。若已知木棒的导热系数为0.15 W/(m·K)，热扩散率1.3×10m/s，木棒与环境的总

-7

2

表面传热系数为12且保持不变，木材的着火温度为240℃，试计算多长时间该木棒将点燃。

解：Bi?hR12?0.025??1 2?2?0.15由于木材被加热，因此边界先着火

r?1.0,Bi?1查图得： R? ?0.65，??240?20?220℃

?m???m11 ????0?m?024所以得出

?m?0.15?1.0,??0.5 ?0hR12?0.65a??0.125 R2查表得：F0?0.125?R2?601s 所以??a8.7在太阳能集热器中采用直径为100mm的鹅卵石作为贮存热量的媒介，其初始温度为20℃。从太阳能集热器中引来70℃的热空气通过鹅卵石，空气与卵石之间的表面传热系数为10 W/(m2·K)。试问3小时后鹅卵石的中心温度为多少?每千克鹅卵石的贮热量是多少？已知鹅卵石的导热系数2.2 W/(m·K)，热扩散率11.3×10m/s，比热容780J/(kg·K)，密度2500kg/m3。

解：Bi?-7

2

hv?0.075?0.1所以可以采用集中参数法 ?A????????cv??e ?0?hA??hA10?4???R2?4??3.1?10 ?cv2500?780?4??R33所以可得出：t?21.816℃ 热量????cvdt d?Q???d??650J

8.8一种测量导热系数的瞬态法是基于半无限大物体的导热过程而设计的。设有一块厚材料，初温为30℃，然后其一侧表面突然与温度为100℃的沸水相接触。在离开此表面10mm处由热电偶测得2min后该处的温度为65℃。已知材料的密度2200kg/m3，比热容780J/(kg·K)，

试计算该材料的导热系数。

解：tw?1000C，t0?300C，x?0.01m,t?650C??2?60?120s，??2200Kg/m3，C?700J/Kg?K?65?100??0.5?erfn由参考文献：?＝0.477?030?1002???cx22200?700?0.012???c????1.41W/m?K224??4?120?0.477由?＝x

8.9 医学实验得知：人体组织的温度高于48℃的时间不能超过10s，否则该组织内的细胞就会死亡。今有一劳动保护部门需要获得这样的资料，即人体表面接触到60℃、70℃、80℃、90℃、100℃的热表面后，皮肤下烧伤程度随时间而变化的情况。人体组织性取37水的数值，计算的最大时间为5min，假设一接触到热表面，人体表面温度就上升到了热表面的温度。

解：按半无限大物体处理，37℃时a?15.18?10?8m2/s。利用习题54中给出的公式，可

x?之值，由误差函数表可查得相应的x的数值，从而确定不同?（单位?2a??2a??秒）下温度为48℃的地点的x值，即皮下烧伤深度。令对于tx?60℃及70℃两种情形给出

得erf??计算结果如下：

烧伤深度，mm

tx,0C

t?x,???txt0?tx

x2a?

0.5分

钟

1分钟

2分钟

3分钟

4分钟

5分钟

60 0.52174 0.5014 2.014 3.03 4.28 5.24 6.05 6.77

70 0.66666 0.6852 2.92 4.14 5.85 7.16 8.27 9.25