体底面积与容器底面积的比是多少？
18. 一辆车从甲地开往乙地，如果把车速提高20%，可以比原定时间提前1小时到达。如果以原速行驶120千米，
再速度提高25%，则将提前40分钟到达，那么甲、乙两地相距多少千米？
第六章 逻辑问题
第一单元 抽屉原理
知识、规律、方法
有这样一个例子，把5个苹果放入4个果盘中，那么一定有某个果盘中至少有2个苹果。这就是最简单的抽屉原理的例子。
规律1：如果把n?k(k?1)件东西放入n个抽屉里，那么至少有一个抽屉中有2件或2件以上的东西。 规律2：把(mn?1)个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至少有(m?1)个物体。 规律3：把(mn?1)个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至少有(m?1)个物体。
如果物体总数恰好为m?n个时，把它放入n个抽屉中，那么必有一个抽屉中最少放m个物体。 利用抽屉原理解决实际问题时要按三个步骤去思考： 1． 确定把什么当作“抽屉”。 2． 确定把什么当作“物体”。
3． 如果条件满足“抽屉少、物体多”，就能根据抽屉原理得出结论。 要学会制造抽屉。有时在不同的题目中，相同的对象，有时当作“抽屉”，有时当作“物体”，到底把谁当作抽屉，要因题而异，灵活应用。 范例、解析、拓展
例1 某校六年级学生有31人是四月份出生的。请你证明：至少有两人出生在同一天内。
拓展一 今年入学的一年级新生中，有181人是1998年出生的。这些新生中，至少有多少人是1998年的同一个
月出生的。
拓展二 袋子里有4种不同颜色的小球，每次摸出2个。要保证有10次所摸的结果是一样的，至少要摸多少次？
拓展三 某地区中学生有11000人，其中必有多少人是同年周月同日生的？（中学生年龄为12～18岁）。
拓展四 一副扑克牌共有54张，至少从中取出多少张，才能保证其中必有3种花色。
例2. 图书角剩下科技书和文艺书各4本。现有4个学生来借阅，每人可以从中任意借2本。请你证明：必有两位学生借阅的图书完全相同。
拓展一 学校买来红、黄、蓝三种颜色的球，规定每位学生最多可以借两种不同颜色的球。那么至少要来几名学生借球，就能保证必有两位学生的球的颜色完全相同？
拓展二 在一副扑克牌中取牌，至少取多少张，才能保证其中必有3张牌的总数相同？
拓展三 如果有一个3?n的方格阵列，每一列的3个方格任意用红、黄、蓝、绿四种颜色中的三种染成三种不同的颜色，问n至少是多少时，才能保证至少有3列的染色方式完全相同？
拓展四 在边长为1的正方形内任取51个点，求证：一定可以从中找出3点，以它们为顶点的三角形的面积不大于
1。 50拓展五 能否在8?8的棋盘上的每一个空格中分别填入数字1、2或3，使每行、每列及两条对角线上的各个数字之和互不相同？ 检测、反馈、应用
1． 在一条长100米的小路一旁种101棵树苗，证明：不管怎样种，至少有两棵树苗之间的距离不超过1米。 2． 20名乒乓球运动员进行单循环比赛。证明：在比赛过程中的任何时候，至少有两位选手比赛过的场次相同。 3． 六年级共有男生57人，证明：其中至少有2名男生在同一个星期内过生日。
4． 体育室有篮球、足球、排球各7个，现有7个学生来借球，每人从中任意借走2个。证明：必有两名学生借的
球完全相同。
5． 幼儿园买来四种玩具，每位小朋友可以从中任意选两种不同的玩具。问至少要来几名小朋友才能保证有两人选
的玩具完全相同？
6． 19朵花插入4个花瓶里。证明：至少有一个花瓶里要插入5朵或5朵以上的鲜花。
7． 有红、黄、绿小球各10个，混合在布袋里。一次至少摸出多少个。才能保证有4个同色的？
8． 一个箱子里有很多玩具，共分4种：飞机、汽车、坦克、舰艇，每个小朋友可任选两件。至少要有几位小朋友
来选玩具，才能保证有3个小朋友所选的玩具是一样的？
9． 证明：从3、5、7、?、27、29这14个奇数中，任取8个数，其中一定有两个数的和是32。 10． 有一大筐苹果和梨，分成若干堆。如果确保找到这样两堆，使这两堆中梨的总数和苹果的总数都是偶数，
那么最少要把这些苹果和梨分成几堆？ 11． 某旅游团一行50人，随意游览甲、乙、丙三地。至少有多少人游览的地方完全相同？ 12． 六（2）班的同学参加一次数学考试。满分为100分，全班最低分为75分。每人得分都是整数，并且班
上至少有3人得分相同。那么，六（2）班至少有多少名同学？ 13． 一副扑克牌有54张，至少抽取多少张，才能保证其中必有一张是“A”？ 14． 李老师从图书馆借来一批图书分给三（1）班48名同学。分的结果是，他们当中总有人至少分到3本书。
这批图书至少有多少本？ 15． 一个盒子中有同样大小的珠子30颗，其中有10颗红色、8个颗白色、7颗黄色、5颗绿色。如果不用眼
睛看，那么至少从盒中摸出多少颗珠子，才能保证一定有7颗珠子颜色相同？ 16． 某市举行数学竞赛，共有52个学校的308名学生参加了竞赛，按组委会规定，每个学校的选手不得超过
6名，至少有几个学校派足了6名选手竞赛？ 17． 任意给定2002个自然数，证明：其中必有若干个自然数，和是2002的倍数，（单独一个数也当做和）。
第二单元 推理问题
知识、规律、方法
逻辑推理问题是一种由众多条件组成的判断性问题。它主要不是靠计算、作图等专门的数学知识，而是要求从一定的前提出发，通过一系列的推理来获取某种结论。讨论这些问题时，必须进行条理清晰的思维和严谨有序的推理。要注意理清各部分之间的关系，然后进行分析推理，排除一些不可能的情况，逐步归纳，对归纳作出正确的判断。 解决这类问题常用的方法有：假设法、排除法、列图表法等。
范例、解析、拓展
例1 有一座四层楼，每层楼有3个窗户，每个窗户有4块玻璃，分别是白色和茶色。如果每个窗户表示一个数字，每
层数的三个窗户从左到右表示一个三位数，四个楼层表示的三位数分别是612，275，791，362。那么，第三层楼表示的三位数是多少？
拓展一 下图是标有1、2、3、4、5、6数字的正方体的三种不同摆法，问三个正方体朝左那一面的数字之和是多少？
拓展二 有三只盒子，一只装有两个红球，一只装有两个白球，还有一只装有红球和白球各一个。现在三只盒子上的标签全贴错了。你能只从一只盒子里拿出一个球来，就确定这三只盒子里各装的是什么吗？
拓展三 已知在每个正方体的6个面上分别写着1、2、3、4、5、6这6个数，并且注意两个相对的面上所写的两个数
的和都等于7，现在把5个这样的正方体一个挨着一个地连接起来（如图1）在紧挨着的两个面上的2个数之和都等于8，那么图中打“？”的这个面上所写的数是几？
例2 小赵、小钱和小孙一位是工人，一位是医生，一位是教师。现在只知道：
（1） 小孙比教师年龄大； （2） 小赵和医生不同岁； （3） 医生比小钱年龄小。
请你判断一下，谁是工人？谁是医生？谁是教师？
拓展一 甲、乙、丙三位老师分别上语文、数学、外语课。
（1） 甲上课全用汉语；
（2） 外语老师是一个学生的哥哥； （3） 丙是女的，比数学老师年轻； 甲、乙、丙各都什么课？
拓展二 一位警察，抓获4个盗窃嫌疑人甲、乙、丙、丁，他们的供词如下：
早说：“不是我偷的。” 乙说：“是甲偷的。” 丙说：“不是我。” 丁说：“是乙偷的。”
他们四人中只有一个说的是真话，你知道谁是小偷吗？
拓展三 A、B、C、D四位外国朋友住在18层高的饭店里，他们分别来自埃及、法国、朝鲜和墨西哥。
（1） A住的层数比C住的层数高，但比D住的层数低； （2） B住的层数比朝鲜人住的层数低；
（3） D住的层数恰好是法国人住的层数的5倍；
（4） 如果埃及人住的层数增加2层，他与朝鲜人相隔的层数，恰好与他和墨西哥人相隔的层数一样； （5） 埃及人住的层数是法国人与朝鲜人住的层数的和。
根据上述情况，请你确定A、B、C、D分别是哪国人，分别住哪一层？
检测、反馈、应用 一． 填空题
1. A、B、C、D、E五人在一次满分为100分的考试中，得分都是高于91的整数。如果A、B、C的平均分为95分，
B、C、D的平均分为94分，A是第一名，E是第三名得96分，那么D的得分是 。 2. 一位学者在几年前逝世，逝世时的年龄是他出生年数的
1，如果这位学者在1955年主持过一次学术讨论会，那29么他当时的年龄为 岁。
3. 有8个球编号是①到⑧，其中有6个球一样重，另外两个球都轻一克。为了找出这两个轻球，小刚用天平称了3
次。结果如下：第一次①﹢②比③﹢④重；第二次⑤+⑥比⑦+⑧轻；第三次①+③+⑤与②+④+⑧一样重，那么，两个轻球的编号是 和 。
4. 某年的10月份有四个星期五、五个星期三。这样的10月8日是星期 。
5. 某商品编号是一个三位数，现有五个三位数：874、765、123、364、925,其中每一个数与商品编号恰好在同一个位
数上有一个相同数字。这个商品的编号是 。
6. 小王、小张、小李三人在一起，其中一位是工人，一位是教师，一位是大学生。现在知道：小李比教师年龄大，
小王和大学生不同岁，大学生比小张年龄小。那么三人中 是工人， 是教师， 是大学生。
7. 甲、乙、丙三人进行跑步比赛，A、B、C三人对赛后结果进行预测，A说：“甲肯定是第一名。”B说：“甲不是最
后一名。”C说：“甲肯定不是第一名。”其中只有一人对比赛结果的预测是对的，预测对的是 。 8. 甲、乙、丙、丁与小明五位同学进行象棋比赛，每两人都要赛一盘，每胜一盘得2分，和一盘得1分，输一盘得0
分。到现在为止，甲赛了4盘，得2分；乙赛了3盘，得4分；丙赛了2盘，得1分；丁赛了一盘，得2分，那么小明赛了 盘，得 分。 二、解答题
9. 甲、乙、丙三人被蒙上眼睛，他们每个人头上都戴了一顶帽子，帽子的颜色不是红的就是绿的，当去掉蒙眼睛的
布时，要求每个人如果看见别人（一个人或两个人）戴的是红帽子就举手，并且谁能判断出自己头上帽子颜色的，谁就马上离开房间。三人碰巧戴的都是红帽子，因此三人都举了手。几分钟后，丙首先走开了，他是怎样推导出自己头上帽子的颜色的？
10. 三只口袋里分别装有两只红球、两只白球、一红一白球，但口袋外贴的标签都是错的。请从一只口袋里取出一只
球，使你能根据这个球的颜色说出三只口袋里球的颜色。
11. 有100个人，其中至少有1人说假话，这100人里任意2个人总有1个说真话，问说真话的有多少人？说假话的
有多少人？
12. 一位老师当着A、B、C三位学生的面拿出5顶帽子，三白两黑。然后将三位学生的眼睛蒙住，分别给他们各戴上
一顶帽子，其余两顶收了起来。老师先打开A学生的眼罩，问他知不知道自己戴的是什么颜色的帽子，A回答不出。老师又打开B学生眼罩，问B知不知道自己戴的是什么颜色的帽子，B也回答不出，这时C学生正确地说出自己戴是的白帽子，试说明C学生的理由。
13. 五年级四个班举行数学竞赛，小强猜的比赛结果的名次排列是（3）班第一名，（2）班第二名，（4）班第四名；小
明猜的名次排列是（2）班，（4）班，（3）班，（1）班。已知，（4）班是第二名，其他各班名次两人都猜错了。这次竞赛名次是怎样排列的？ 14. 甲、乙两个牧童，甲对乙说：“把你的羊给我一只，我的羊就是你的两倍。”乙回答说：“如果把你的羊给我一只。
我们俩的羊数就一样多了。”他们原来各有多少只羊？
15. 某工厂有六名棋手进行单循环比赛。比赛分三场同时进行，共赛五天，每人每天赛一场。已知在第一天C和E对
弈，第二天B和D对弈，第三天A和C对弈，第四天D 和E 对弈。试问，F在第五天与谁对弈？ 16. A、B、C、D、E、F、G、H共八人为四对夫妻。已知：（一）E曾作为客人参加了D的结婚典礼。（二）A的爱人
是H的表兄。（三）E和F性别相同。（四）A、B、E三人在结婚前，同住一间宿舍。（五）H夫妇出国旅行时，B、C、E代表各自的爱人到机场送行。请说出八个人，谁和谁是夫妻。
17. 一台天平，只有30克和5克的两只砝码，如何将300克药粉分成150克、100克和50克三份，请写出详细过程。 18. 三个班的代表队进行N(N?2)次篮球比赛，每次第一名得a分，第二名得b分，第三名得C分（a、b、c为整数且a＞b＞c＞0），现已知这N次比赛中一班共得20分，二班共得10分，三班共得9分，且最后一次二班得了
a分，那么第一次得了b分的是哪个班？
19. 世界杯足球小组赛，每组四个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，败队记0分，平局时两队各记1分。小
组全赛完以后，总积分最高的两个队出线进入下轮比赛，如果总积分相同，还要按小分排序，一个队至少积几分才能保证本队必然出线？
第三单元 最优化问题