第一章 数与计算

第一单元 同余问题

1． 知识前提。

（1） 整除：如果整数a除以自然数b,所得的商恰好是整数而没有余数(余数是0),我们就称a能被b整除或b能整除

a。 （2） 乘方的意义：求n个相同因数的乘积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。n个相同因数a相乘，即a???a?a???n个a，

记做a。其中a叫做底，n叫做指数，a读做a的n次方。

（3） 幂的运算法则：

① 同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。即

?nam?an?am。

nn② 幂的乘方，底数不变，指数相乘。即 a??nm?anm。

③ 积的乘方，等于把积的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘。即

nn ?ab??a?b。

n2． 同余

如果两个整数的a、b除以同一个自然数m所得的余数相同，那么就说a、b对于m是同余的，记为a=?h（modm）。我们把m称为模。如果a、b对于m是同余的，那么a与b的差能被m整除；反之，如果a与b的差能被M整除，那么a、b对于m是同余的。 3． 规律、方法应用。

（1） 反身性规律：a和a对于m同余。

（2） 对称性规律：a和b对于m同余，那么b和a对于m同余。

（3） 传递性规律：如果a和b对于m同余，b和c对于m同余，那么a和c对于m同余。

（4） 同余的加减法、乘法规律：如果a和b对于m同余，c和d对于m同余，那么a＋c，和b＋d，a－c和b－d，

ac和bd对于m同余。 （5） 同余的乘方规律：如果a和b对于m同余，那么a和b也对于m同余。

（6） 同余的连加规律：a1和b1对于m同余，a2和b2对于m同余，a3和b3对于m同余??an和bn对于m同余，那

么a1?a2?a3??an和b1?b2?b3??bn也对于m同余。

例1． 有一个不等于1的整数，它除300，262，205得到的余数相同，这个整数是多少？ 拓展一 如果某数除492,2241,3195都余15,那么这个数是几?

拓展二 自然数16520,14903,14177除以m的余数相同, m的最大值是多少?

拓展三 若2836,4582,5164,6522这4个数被同一个数相除,所得的余数相同且为两位数,则除数和余数的和为多少?

例2．求2003?59除以7的余数。

拓展一 求1897?253?1594除以13的余数。

拓展二 求2814?323?3875?2413?289?786除以11的余数。

nn

拓展三 求11?22?33?44?55?66?77?88?99的结3的余数。

拓展四 把1至2002这2002个自然数依次写下来，得到一个A?1234?200020012002试求A除以9的余数。 例3．10拓展一 2100被7除的余数是多少？

1000除以13的余数是多少？

1991拓展二 今天是星期日，过2拓展三 求7355天是星期几？

的末两位数是多少？

拓展四（1）2005年全年有几个星期日？全年有几个月有五个星期日？（2005年1月1日是星期六）（2）2008年全年

有几个星期日？全年有几个月有五个星期日？（2008年1月1日是星期二）

检测

1．已知69,90,125被Ｎ除余数相同，求81被N除的余数是（ ） Ａ．４ Ｂ．７ Ｃ．５ Ｄ．２

２．1991和1769除以某一个自然数n,余数分别为2和1,n的最小值是( ) Ａ．23 Ｂ．13 Ｃ．17 Ｄ．18 3．16?17?37?38除以13的余数是（ ） Ａ．12 Ｂ．11 Ｃ．9 Ｄ．7 4．19991999除以3所得的余数是（ ）

Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．0 Ｄ．3 5． 今天是星期二，再过992002天是星期（ ）

Ａ．三 Ｂ．四 Ｃ．五 Ｄ．六 6． 19981999的个位数字是（ ）

Ａ．3 Ｂ．2 Ｃ．4 Ｄ．6 7． 111997?13995?171025的个位数字是（ ）

Ａ．3 Ｂ．1 Ｃ．9 Ｄ．6 8． 3?4?5?7的个位数字是（ ）

Ａ．3 Ｂ．1 Ｃ．9 Ｄ．5

9． 在小于2002的自然数中，被18及33除以余数相同的数有（ ）个。 Ａ．17 Ｂ．198 Ｃ．34 Ｄ．51

10．一个三位数，它的29倍加上5能被2002整除，这个三位数是（ ）。 Ａ．345 Ｂ．121 Ｃ．150 Ｄ．267

11．一个整数乘以13后，积的最后三位数是123，这样的整数最小是（ ）。 Ａ．157 Ｂ．253 Ｃ．942 Ｄ．471

12．用1，9，8，8这四个数能排出（ ）个被11除余8的四位数。 Ａ．3 Ｂ．4 Ｃ．5 Ｄ．6 13．71427?19的积被7除的余数是（ ）。 Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．5

50515253

二．解答题。 14．试证明：111111?112112?113113能被10整除。

15．求乘积34?37?41?43除以13所得的余数。 16．今天是星期五，再过36517．求397918．求1999131234364天是星期几？

除以39所得的余数。

323?3231999的个位数字。

141519．131?132?133除以13余几？ 20．试证明：31990?41990是5的倍数。

21．70个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的三倍恰好等于它两边两个数的和。这一行最左边的几个数是

这样的：0，1，3，8，21，?，问最右边的一个数被6除余几？

22．2002年全年有几个星期日？全年有几个月有5个星期日？（2002年1月1日是星期二） 23．某年的10月有五个星期六，4个星期日，这年的10月1日是星期几？ 24．甲、乙两人轮流报数，必须报不大于2的自然数（零除外），把两人报出的数依次加起来，谁报数后加起来的数是

20，谁就获胜，如甲要取胜，是先报还是后报？以后怎样报？ 25．设A是一个有35位循环节的循环小数A?0.a1a2a3?a35，把A的所有奇数位画去，得到一个新的无限小数：

A1?0.a2a4a6a8?再把A1的

仍得到原来的循环小数？

A2?0.a4a8an?如此继续下去，能否

第二单元 分数的大小比较

比较分数的大小，需要仔细观察每个分数的特点，根据不同的特点采用不同的方法进行比较。如果两个分数的分母相同，分子大的分数比较大；如果两个分数的分子相同，分母大的分数反而小。如果分数的分子分母都不相同，需要经过转化，利用分数的基本性质，把它们转化成分子或分母相同的分数，再进行比较。有时需要找到另外的途径进行比较，具体的方法有：

1． 相减法。把两个分数相减，如果差大于零，减数就小。

2． 相除法。把两个分数相除，若商是真分数，则被除数小于除数。

3． 交叉相乘法。分数

acac和，如果ad＞bc，那么＞。 bdbd4． 倒数法。利用几个分数的倒数比较，倒数大的分数反而小。

5． 转化法。可以把分数转化成小数进行比较。

6． 中间数比较法。依据数据的特点，借助某一有规律的中间数，进行比较。此类比较，需要将已知的数或算式作

适当的变形。 7． 间接比较“1”

8． 分子化相同，分子化为1

解题时，要认真分析，要学会多角度、多侧面思考问题，灵活运用解题方法。 例1 比较

1541220、、、这四个分数的大小。 1992537

拓展一 将下列的分数由小到大的排列起来。

10121520，，， 1719233311 拓展二 A?，。试比较A和B的大小。 B?2221998?19?9811998?1997?1998?1997 拓展三 将下列分数由小到大排成一列不等式。

25151012，，，， 38231719 拓展四 将下列分数由小到大排成一列不等式。

1014735、、、 79523444355576668例2 比较，，三个分数的大小。

55546668777977777756666661拓展一 比较和的大小。

77777776666663218191152347拓展二 比较和的大小。

654321456789拓展三 将下列分数由小到大排成一列不等式。

171923101，，， 2731381614681000000例3 A??????，试比较A与0.003谁大谁小。

57910000011135799拓展一 如果A???????，试比较A与的大小。

10246810035719999拓展二 用A表示下面的积：A??????，问：A与0.01相比,谁大谁小?

46820000111111拓展三 比较1????与0.001的大小. ???24816321024

检测

1． 在○中填入“＞”或“＜”。

680432117207112343345655678○ （2）○ （3）○○ 79154344880812345345675678923232333333332434（4）○ （5）○ （6）○○○

333333333371115999999555555571133433127951496917（7）○ （8）○ （9）○

66666666612512343312815149691917152322（10）○ （11）○

696730315555536666642. 比较和的大小。

55555566666624363. 把、、和按从小到大的顺序排列。

79811512104154. 在，，，，五个分数中，最大的分数是谁？

121923722（1）

5. 把下面的分数按从小到大的顺序排列。