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在近于一致收敛于0，但是在不收敛（不内闭一致收敛）。

例6：已知函数序列续且可微，证明

??n?x??=

），n=1，2，在区间上连

??n?x??在上一致收敛。

证明：函数序列??n?x??在区间上连续且可微，且存在M=1，对于任意

的x∈

则存在

及n∈N，

n?x?=

2x2x??1

n?1+n2x2?x2nx），n=1，2，在区间

上一直连续。

由以上内容可知?n?x?=

我们证明一致收敛的时候可以采取反向证明法，即是证明函数的不一致收敛，证明不一致收敛的常用方法如下： ①、利用定义证明。

②、利用求极值的方法，rn?x? =

?k=n+1???x?，假如Sup|r?x?|

k?n0（n），

那么

k=n+1???x?在I上不一致收敛；如果

kn

（x）（x）（n）（x∈I），但

是Sup?n?x?-??x?

0（n

），则?n?x?在I上不一致收敛。

③、利用Cauehy准则（适用于函数顶级数与函数列). ④、利用与函数或者极限函数的不连续性。 ⑤、利用各种结论

函数顶级数与函数列的一致收敛性存在很多证明与应用，需要我们更加细致

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的去探索。

参考文献

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