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x∈?a,b?,
,,
由定理一:设??n?x??在区间?a,b?上的连续函数列,且对于????a,b?,都存在
(1)?n?x???n+1?x??0,其中
,
(2)
?.
则交错函数顶级数??-1??n?x?在?a,b?上一致收敛。我们可以知道,函数
n?1项级数?n=1??-1?n-1n+x2在区间?a,b?一致收敛。
M一判别法
定理二: 设有函数级数??n?x?,存在一收敛的正项级数??n使得对于
n=1n=1??∈1,存在limn???n?x?=??+?>??0? ?n? 则函数项级数??n?x?在区间I一致收敛。
n=1证明:从以上条件已知limn???n?x?=??+?>??0?,即是??>0,N∈?n0,
x∈I有|-|<
?n?x?-?<?0+?,即是
?n-?<
??0+???n,
又因为??n存在收敛,则???0+???n也存在收敛,由M-判别法得出函数
n=1n=1??顶级数??n?x?在区间I一致收敛。
n=1? 上面我们谈了函数项级数的判别法,下面我们简单阐述函数列的判别法。
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(一)点的收敛 函数列
??n?x??在x点收敛于?n?x?,指的是:
0,N属于自然数,
当n>N的时候,存在
?n?x?-?n?x?<?00.
注:在以上情况中,对于,满足其收敛定义要求的自然数N不是固定
不变的,是有无穷个的。我们可以推理为,假如N满足了收敛定义的要求,那么N+1,N+2,N+n都满足收敛定义的要求。以上的无穷多个自然数N,构成一个无穷自然数集合E=﹛
收敛,实质上是一个数列的收敛问题。 (二)、逐点收敛 假设函数列
﹜。这在点x0的
??n?x??在点集E上面收敛于???x??,即是?
?0
∈E,?n?x?都
??在x0这一个点收敛于??x0?,这时候存在?n?x?-?n?x0?<?。(注:Nx0是与x0以及?有关的,且与两者都有关,对于不同的x0,有着不同的(三)、一致收敛
假设在点集E上的函数列
??n?x??与??x?函数,对于
,当n>N
时,?x∈E时,则存在?n?x?-?n?x?<?,那么则称为函数列上一致收敛于??x?。下面进行论述: 例4:
??n?x??在点集E
??n?x?? =?x?在?a,b?(1>a>0)上存在共同的N;同时,在?0,1?n上不存在共同的大N。 证明:从
,那么则存在 ??n?x??中我们可以得知,?∈(-1,1)
x?n?x?=lim?x?=0
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即是: 对立
??n?x?? =?x?在(-1,1)内收敛于??x?=0.
n>0,要使n>N与a≥x≥-a成立,则必须使?n?x?-??x?=xn<?成
当x≠0的时候,存在n
<log?,只要n>N,那么就会存在n
成立
<log?
log? 即是:当n>(
log??log??
只需要将N的取值范围定在??即可, N的值就是共同的大N(在
log???
再证:当x∈
1的时候,存在?0= 对于
2N0=2N>N x0=
(自然数)都存在
∈
?-21??-21N使?n?x0?-??x0?=?x0?=?2N???N0?1?=成立。 ?2 这说明了集合Nx0,?x0,?N0,在对应n>N0有?n?x0?-??x0?<?不存在上界。 所以:
????n?x?? =?x?在
n上不存在共同的大N,即是在
三:一致收敛性的应用
从以上我们可以基本的了解函数顶级数及函数列的一致收敛性,下面我们在此基础上对一致收敛性的基本应用进行理解: (一)、内闭一致收敛
假设E作为区间,假如对于任意??,??E,
??n?x??在??,??上都一致收
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敛于??x?,那么则称为 若在
??n?x??在区间E内闭一致收敛于??x?。
上一
??n?x??区间E内闭一致收敛于??x?,则在E上收敛于??x?
n??n?x?? =?x?,虽然在
致收敛,即是对(-1,1)内任何一个闭区间上都一致收敛,以上性质称之为内闭一致收敛。下面我们继续以上定义: 对?x0∈E,那么一定存在 由于
E,使
??n?x??在E内闭一致收敛于??x?,因此,在??,??上也收敛于??x?,
收敛于??x0?,从而在E上收敛于??x?。反之则不一定
我们可以很明显的看出成立:
例如?xn?在(-1,1)内闭一致收敛于0,但是在(-1,1)内则不一致收敛;
?x?在
n上不一致收敛,当然在(-1,1)内不一致收敛。
(二)、近于一致收敛 设
??n?x??与??x?定义在点集E的函数,如对??>0,eE使<?而
??n?x??在E\\上一致收敛,则称之为??n?x??在E上近于一致收敛,即是:当去
掉一个测度可以任意小的某点集之后一致收敛。
从以上我们可以得知:内闭一致收敛,对于E确定义为区间,对于??>0(预先得知的)可以使得集合E\\存在闭集EE
之测度小于?(因为对于点集E,总是
(F\\E)<?,所以,对于区间绝对成立)。以上说明了内闭一
致收敛,当然近一致收敛。反之则不一定成立。 例五:定义在
的函数列
??n?x??
(当x为无理数)
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