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一致收敛性判别及应用

摘要：函数是高等数学中重要的内容之一，但是函数项级数与函数列的一致收敛性问题往往是初学者学习函数的最大障碍，本文对函数项级数、函数列的一致收敛性的常用判别方法进行简单分析并阐述其应用。

关键词：函数项级数 函数列 一致收敛 判别法及应用 设

??n?x??为定义在区间

Z上的函数序列，假如那么就存在

x1，x2∈Z，当|x1-x2|＜

称之为函数序列

，对于一切n有|?n?X1?-?n?X2?|＜

，则

??n?x??在区间Z上等度连续。

假设函数列??n?与函数?定义在区间Z上，假如对于任意给的正数

|?n?x?-??x?|＜

以上情况则称之为

??n?在区间Z上一致收敛于?。

一、函数列及其一致收敛性

假设?1，?2，，?n，是一列定义在同一数集Z上的函数，那么则称为定义在Z上的函数列，可以表达为：

??n?或?n，n=1,2，

。 （1）

以x0∈Z带入以上数列，可以得出以下数列：

（2）

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假如数列（2）收敛，那么则称为数列（1）在点X0收敛，x0则是函数列（1）的收敛点，当函数列（1）在数集DZ上每一个收敛点都出现收敛时，则称（1）在数集D上收敛，这时候D上面的每一个点x都有相应的数列

??n?x??的一个极

限值与之相对应，根据这个对应法则所确定的D上的函数，则称为函数列（1）的极限函数假如将此极限函数记作为?，那么则有：

或者是：

（

），x∈D

例1 设，n=1,2，，为定义。

证明：设

＞0，当

＞0时，由于有：

|

|=|xn|，

只要N（=，当n＞（

||=|xn|＜|x|N=.

当x=0，x=1，对于任何正整数n，都存在

|

|=0＜，

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在（-，

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|

以上结果证明了

|=0＜.

??n?在?-1,1?上收敛。

例2 定义在?-?，??上的函数列由于对于任何的实数x，都存在

sinnx1≤， nn，n=1,2，。

因此，对于任意＞0，只要符合n＞N=，就存在

sinnx-0＜n

所以，函数列?sinnx/n?的收敛域为?-?，??。

二、一致收敛判别法

对于函数项级数的一致收敛性判别方法早有人研究过，且硕果累累，常见的判别方法有：柯西一致收敛准则、魏尔斯特拉斯判别法、狄利克雷判别法等等，在这里我们就不一一介绍了，下面介绍比较常用的判别法。 莱布尼兹判别法

定理一：设??n?x??在区间?a，b?上的连续函数列，且对于????a，b?，都存在

（1）0??n+1?x???n?x?，其中

N+，

（2）.

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? 则交错函数顶级数??-1??n?x?在?a，b?上一致收敛。

n?1 证明：

已知函数列??n?x??在区间?a，b?上单调减少且收敛于0，每一项也都存在连续。

而-?n?x?=????k?x?-?k+1?x???-?1?x?，

k=1n-1 所以

在?a，b?连续非负，由狄尼定理可以得知函数项级

数在区间

???x??

n 在区间?a，b?一致收敛于0。 又存在

??-1?k=1?kn=1nk=-1+1-1+1-1+1

? 因此

??-1?

有界，即是

??-1?n=1n的部分与函数列在区间

由狄利克雷判别法我们可以知道：交错函数项级数??-1??n?x?在区间

n=1?n?a，b?一致收敛。

例3 证明?n=1??-1?n-1n+x2在区间

?1? 证明：?是任意闭区间?a，b?的连续函数列，且存在 2??n+x?精品文档