从而行列式

0|?1,?2,?3|?1?1a21b1?0, 0由此解得a?3b.又?3可由?1,?2,?3线性表示，从而可由?1,?2线性表示， 于是?1,?2,?3线性相关. 因此有

1|?1,?2,?3|?2?3301b1?0, 0化简得2b?10?0, 于是a?15.b?5. 方法二：

因?3可由?1,?2,?3线性表示，故线性方程组 ?1?2????33019??x1??b??????6x?1 ??2????7????x3????0??有解，对增广矩阵施行初等行变换：

??1?b????1?2b??0???3b????0???b?2b?1? ?6?2b?1??6??13?20????3196?7???b??139??1?0?6?12???0???01020310920???由非齐次线性方程有解的条件知

3b106b?5

?2b?1?0,

解得

又因为?1,?2线性无关，?3?3?1?2?2

所以向量组?1,?2,?3的秩为2，而题设?1,?2,?3与?1,?2,?3同秩， 从而有

0|?1,?2,?3|?11a2151?0, 0

由此解得 a?15.

222（21）设二次型f?x1,x2,x3??x1?ax2?x3?2x1x2?2x2x3?2ax1x3的正负惯指数都是1，试计算a的值并用正交变换将二次型化为标准型。 ?1?【解】：二次型的矩阵为A?1???a?1a?1?a???1 ?1??11a?1?a?1??(a?2)(a?1)?0 12由二次型的正负惯性指数都是1，可知r(A)?2，A?1?a所以a??2，或a?1

又a?1时，显然r(A)?1，故只取a??2 此时?E?A??(??3)(??3) 所以A的特征值是3,?3,0

T当?1?3时，解方程组(3E?A)X?0，得基础解系为?1?(1,0,1)

T当?2??3时，解方程组(?3E?A)X?0，得基础解系为?2?(1,?2,?1)

T当?3?0时，解方程组(0E?A)X?0，得基础解系为?3?(1,1,?1)

将?1,?2,?3单位化得

?1?(12,0,12),?2?(T16,?26,?16),?3?(T13,13,?13),

T因此所求的正交变换为

?1?2?x1?????x?0?2???x???3??1??216??2616?131313????y1??????y2? ??y??3????22所求的标准型为3y1?3y2

?4xy,0?x?1,0?y?1（22）已知随机变量X,Y的联合概率密度为?(x,y)??，求X,Y的联合分布函数

?0,其它F(x,y)

【解】：由分布函数的定义可知F(x,y)?P?X?x,Y?y?，由于X,Y只在区域0?X?1,0?Y?1上取值。

因此，当x?1,y?1时，F(x,y)?P?X?x,Y?y??1， 当x?0或y?0时，F(x,y)?P?X?x,Y?y??0。 当0?x?1,0?y?1时，

F(x,y)?P?X?x,Y?y????u?x,v?yf(u,v)dudv??y022dv?4uvdu?xy

0x当0?x?1,y?1时，

F(x,y)?P?X?x,Y?y????u?x,v?yf(u,v)dudv??102dv?4uvdu?x

0x当x?1,0?y?1时，

F(x,y)?P?X?x,Y?y????u?x,v?yf(u,v)dudv??y02dv?4uvdu?y

01?0,x?0或y?0?yx22??dv?4uvdu?xy,0?x?1,0?y?100??则F(x,y)??x2， 0?x?1,y?1?2y，x?1,0?y?1??1，x?1,y?1???2e?2(x??,)若x??（23）设总体X的概率密度为 f(x)??

若x???0,^其中??0是未知参数.从总体X中抽取简单随机样本X1,X2,?,Xn，记??min(X1,X2,...,Xn)， （1） （2） （3） 【解】： （1）F(x)?求总体X的分布函数F(x)^；

求统计量?的分布函数F^(x)；

?^如果用?作为?的估计量，讨论它是否具有无偏性.

?x??f(t)dt，当x??，F(x)?0；

当x??时，F(x)?^??x2e?2(t??)dt?1?e?2(x??).

（2）??min(X1,X2,...,Xn)，所以

??x?P?min(X,X,...,X)?x?F??(x)?P?12n?1?P?min(X1,X2,...,Xn)?x??1?P?X1?x,X2?x,?,Xn?x??1?P?X1?x?P?X2?x??P?Xn?x??1??1?F(x)???1??1???n??

?0, x????2(x??), x???1?e???1???n??1, x?????2(x??), x?????e????n?1, x???0, x???1???2n(x??)???2n(x??)e, x??, x????1?e?0, x??'?（3）?的概率密度为f??(x)?F?，所以 ?(x)???2n(x??), x???2ne??E??????xf??(x)dx????0x2ne?2n(x??)dx???12n?不是?的无偏估计. ???，即?，可见E?

数一模考二答案

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分

（1）D （2）C （3）C （4）B （5）A （6）D （7）D （8）B 二、填空题：9?14小题，每小题4分，共24分 （9）

1?f1??xyf11???yf12?? （10）y?2. （11）y??x?1 ?x?yx8?z2（12）

15三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

? （13）2 （14）1?e

?2sinx?sinx?sinx?sin???（15）（本题满分10分）求极限lim? 2x?0x(1?cosx)?sinx?sin?sinx??sinx?sin(sinx)?sinx解：lim? ?lim223x?0x?0x(1?cosx)x?2limcosx?cos(sinx)cosx3x2x?0?2lim1?cos(sinx)3x2x?0?limsinx3x22x?0?13

?x2?y2?2z2?0（16）（本题满分10分）已知曲线C:?，求曲线C距离XOY面最远的点和最近的点.

?x?y?3z?5解：点(x,y,z)到xOy面的距离为|z|，故求C上距离xOy面的最远点和最近点的坐标，等价于求函数