?2e?2(x??),若x??（23）（本题满分12分）设总体X的概率密度为f(x)??，其中??0是未知参数.从总
若x???0,^体X中抽取简单随机样本X1,X2,?,Xn，记??min(X1,X2,...,Xn)， （1）求总体X的分布函数F(x)^；
（2）求统计量?的分布函数F^(x)；
?^（3）如果用?作为?的估计量，讨论它是否具有无偏性.
数一模考1答案
一、选择题
（1）B （2）C （3）D （4）B （5）D （6）B （7）B （8）A 二、填空题 （9）a?13 （10）9(4??) （11）1. （12）
23712 （13））3 （14）?1
三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（15）求极限lim?x?????x? ????x?x?x??x? ?【解】：lim?x???x?x?x?
?limx?x?x?x?x?xx?xx???(根式有理化)?limx?x?x?xx?x1??limx???xxx?1?12
x???1?x?x?2y''?(y')2?y（16）求微分方程?的解
?y(0)?2,y'(0)?1【解】：令y'?p，则y''?pdpdy得到 2pdpdy2?p?y
令p2?u, 得到
dudy?u?y为关于y的一阶线性方程. 且u|x?0?p(0)?[y'(0)]?1
22解得 u?y?1?ce?y 所以 1?u?y(0)?2|x?0?y(0)?1?ce?2?1?ce, c?0.
于是 u?y?1, p??dyy?1??dx, 2y?1
x2c12y?1??x?c1,
y?1??x2?
y(0)?2, 得到
c12?1, 得解 y?1???1
（17）设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内大于零，并满足
xf(x)?f(x)?3a2x(a为常数)，又曲线y?f(x)与x?1,y?0所围的图形S的面积值为2，求函数
2y?f(x),并问a为何值时，图形S绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积最小.
【解】由题设知，当x??0时,
xf?(x)?f(x)x2?3a2
即
d?f(x)?3a?, ??dx?x?2根据此并由f(x)在点x?0处的连续性，得
f(x)?3ax22?Cx,x?[0,1]
又由已知条件得
12?1?(3212
ax?Cx)dx?(212ax?3C2x)|0
2102即
?a?C
C?4?a. f(x)?32ax2因此 ?(4?a)x.
旋转体的体积为
11V(a)??12?f(x)dx??02?0?3?2 ax?(4?a)x?2?dx??230311V?(a)?(a?)??0
153a??5. 得
?(a?1a?163)?
又因
15故a??5时，旋转体体积最小.
V??(a)?1?0
（18）就k的不同取值情况，确定方程x?【解】设f(x)?x?则
f(x)在[0,?2sinx?k在开区间(0,?2)内根的个数，并证明你的结论.
?2sinx,
?2]上连续.由f?(x)?1??2cosx?0,
2得f(x)在(0,?2)内的唯一的驻点x0?arccos?
由于当x?(0,x0)时,f?(x)?0, 当x?(x0,?2)时，f?(x)?0.
所以f(x)在[0,x0]上单调减少，在[x0,因此x0是f(x)在(0,?2]上单调增加，
?2)内的唯一的最小值点，
最小值为y?f(x0)?x0?又因， 故在(0,?2sinx0.
?2)内f(x)的取值范围为[y0,0).
故当k?(y0,0),即k?y0或k?0时，原方程在(0,?2)内没有根；
当k?y0时，原方程在(0,?2)内有唯一根x0；
当k?(y0,0)时，原方程在(0,x0)和(x0,即原方程在(0,?2)内各恰有一根，
?2)内恰有两个不同的根。
?（19）求幂级数?n?1??1?un?1unn?12n?1x2n的收敛域及和函数.
解：因为 limn???limxn???2n?1?2nx?2n?1?2n?222?x，所以当x?1, 即?1?x?1时，原幂级数绝对收敛.
?当x??1时，级数为?n?1?(?1)n?12n?1?，由莱布尼兹判别法显然收敛，故原幂级数的收敛域为[?1,1].
又
?n?1(?1)n?12n?1?x2n?x?n?1(?1)n?12n?1x2n?1
令 f(x)??n?1(?1)n?12n?1?x2n?1,x???1,1?
则 f??x???n?1(?1)n?1x2?n?1??11?x2
由于f?0??0，所以 f?x???0x???td?tf?0f?. x?arctan从而幂级数的收敛域为[?1,1]，和函数为 xarctanx,x?[?1,1].
?1??0??a??b?????????（20）已知向量组?1?1,?2?2,?3?1向量组与向量组?1?2,
??????????????3????1???1???0???3??9??????2?0,?3?6具有相同的秩，且?3可由?1,?2,?3线性表示求a,b的值.
???????1????7??【解】 方法一：
因为?1和?2线性无关，?3?3?1?2?2,所以向量组?1,?2,?3线性相关，且秩为2,?1,?2为它的一个极大线性无关组.
由于向量组?1,?2,?3与?1,?2,?3具有相同的秩，故?1,?2,?3线性相关.