模拟三
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．（1）设函数y?f(x)具有二阶导数，且f?(x)?0,f??(x)?0，?x为自变量x在x0处的增量，?y与dy
分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若?x?0，则（ ）
（A）0?dx??y. （C）?y?dy?0.
?40 （B）0??y?dy. （D）dy??y?0.
10
（2）设f(x,y)为连续函数，则?2d??f(rcos?,rsin?)rdr等于（ ）
2202（A）?（C）?2022dx?dy?1?xx1?yy2f(x,y)dy （B）?f(x,y)dx （D）?dx?dy?1?x01?y02f(x,y)dy
22200f(x,y)dx
（3）设有三元方程x2?z2?xlny?exy?1，根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)的一个邻域，在此邻域
内该方程（ ）
（A）只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z?z(x,y)
（B）可确定两个具有连续偏导数的隐函数x?x(y,z)和z?z(x,y) （C）可确定两个具有连续偏导数的隐函数y?y(x,z)和z?z(x,y) （D）可确定两个具有连续偏导数的隐函数x?x(y,z)和y?y(x,z)
（4）设函数f(x)在(??,??)内单调有界，?xn?为数列，下列命题正确的是（ ）
（A）若?xn?收敛，则?f(xn)?收敛.
（C）若?f(xn)?收敛，则?xn?收敛.
（B）若?xn?单调，则?f(xn)?收敛.
（D）若?f(xn)?单调，则?xn?收敛.
（5）设?1,?2,?3是3维向量空间R3的一组基，则由基?1,2?2,3?3到基
?1??2,?2??3,?3??1的过渡矩阵为（ ）
???（A）?????112001213?1??0? ??1?3???1? （B）?0???1?0120?1??0? ??1?3?
?1?（C）?2?0?0231??0 ?3??
?1? （D）?0?1?2200??3 ?3??（6）设?1,?2是矩阵A的两个不同的特征值, ?,?是A的分别属于?1,?2的特征向量, 则（ ）
（A）对任意k1?0,k2?0, k1??k2?都是A的特征向量.
（B） 存在常数k1?0,k2?0, k1??k2?是A的特征向量. （C） 当k1?0,k2?0时, k1??k2?不可能是A的特征向量.
（D）存在惟一的一组常数k1?0,k2?0, 使k1??k2?是A的特征向量.
（7）两只一模一样的铁罐里都装有大量的红球和黑球，其中一罐（取名“甲罐”）内的红球数与黑球数之
比为2:1，另一罐（取名“乙罐”）内的黑球数与红球数之比为2:1，今任取一罐并从中取出50只球，查得其中有30只红球和20只黑球，则该罐为“甲罐”的概率是该罐为“乙罐”的概率的（ ） (A) 154 (B) 254倍 (C) 798倍 (D) 1024 （8）已知?X,Y?服从二维正态分布，EX?EY??,DX?DY??2，X与Y的相关系数??0，则X与
Y（ ）
（A）独立且有相同的分布 （B）独立且有不相同的分布
（C）不独立且有相同的分布 （D）不独立且有不相同的分布 二、填空题：9?14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．（9）?21x311exdx＝_______
?x?e?t2dy?2（10）设?，求2tdxy??ln?1?u?du?0???????????????????
t?0（11）若二阶常系数线性齐次微分方程y???ay??by?0的通解为y??C1?C2x?e，则非齐次方程
xy???ay??by?x 满足条件y?0??0,y??0??0的解为y?
（12）已知曲线L的方程为y?x?1，x???1,1?,起点是??1.0?，终点是?1,0?，则曲线积分
?Lydx?xdy??????????????????
0?? ?1?B?22?AT（13）设A,B都是n阶可逆矩阵，且A?2,B?3， 则?2??0（14）随机地向半圆0?y?22ax?x(a为正常数)内掷一点, 点落在半圆内任何区域的概率与区域的面
积成正比, 则原点和该点的连线与x轴的夹角小于
?4的概率为______.
三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
x2（15）（本题满分9分）求极限lim2?1?1?xx22x?0?cosx?e?sinx2
2（16）（本题满分10分）在抛物线y?x,(0?x?8)上求一点，使得该点的切线与直线y?0与x?8所围
成的三角形面积最大
（17）（本题满分12分）设函数f?x?在闭区间?a,b?上连续，在开区间?a,b?内可导，且f??x??0，若极
x?a （1）在?a,b?内f?x??0；
x?a?限limf?2x?a?存在，证明：
（2）在?a,b?内存在?，使
b?aba22?f?x?dx?2?f???；
（3）在?a,b?内存在与（2）中?相异的点?，使 f?????b2?a2??
（18）（本题满分10）设S为椭球面
x22??f?x?dx??aab
2?y22?z2?1的上半部分，点P?x,y,z??S，?为S在点P处的
切平面，??x,y,z?为原点到?的距离，求??Sz??x,y,z?dS
（19）（本题满分11分）设幂级数在负无穷到正无穷内收敛，其和函数y(x)幂级数为?anx ，且和函数
y???2xy??4y?0,y(0)?0,y?(0)?1
n（1） 证明：an?2?2ann?1（2） 求y(x)的表达式
，n?1,2.3,......
（20）（本题满分11分）设A?(aij)3?3是实矩阵，满足：
（1）(aij)?(Aij)(i,j?1,2,3)，其中Aij为元素aij的代数余子式； （2）a33??1； （3）A?1
?0???求非齐次线性方程组Ax??0?的解
?1???
（21）（本题满分10）设有n元实二次型，
f?x1,x2,...,xn???x1?a1x2?12??x2?a2x3??...??xn?1?an?1xn???xn?anx1?222，其中
ai(?i,为实数。试问：当na1,a2,...,an满足何种条件时，二次型f?x1,x2,...,xn?为正定二次
型
（22）（本题满分11分）设随机变量X和Y的联合分布是正方形G???x,y?:1?x?3,1?y?3?的均匀分
布。试求随机变量U?X?Y的概率密度p(u)
?6x(??x),?（23）（本题满分10分）设总体X的概率密度为：f(x;?)???3?0,?0?x??其他，其中?是未知参
数，X1,X2,...,Xn是来自总体X的简单随机样本，
?（1）求?的矩估计量?；
?)D(?（2）求
.
模拟四