2012年考研数学1模拟试题及答案 下载本文

模拟三

一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ...(1)设函数y?f(x)具有二阶导数,且f?(x)?0,f??(x)?0,?x为自变量x在x0处的增量,?y与dy

分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分,若?x?0,则( )

(A)0?dx??y. (C)?y?dy?0.

?40 (B)0??y?dy. (D)dy??y?0.

10

(2)设f(x,y)为连续函数,则?2d??f(rcos?,rsin?)rdr等于( )

2202(A)?(C)?2022dx?dy?1?xx1?yy2f(x,y)dy (B)?f(x,y)dx (D)?dx?dy?1?x01?y02f(x,y)dy

22200f(x,y)dx

(3)设有三元方程x2?z2?xlny?exy?1,根据隐函数存在定理,存在点(0,1,1)的一个邻域,在此邻域

内该方程( )

(A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z?z(x,y)

(B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x?x(y,z)和z?z(x,y) (C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数y?y(x,z)和z?z(x,y) (D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x?x(y,z)和y?y(x,z)

(4)设函数f(x)在(??,??)内单调有界,?xn?为数列,下列命题正确的是( )

(A)若?xn?收敛,则?f(xn)?收敛.

(C)若?f(xn)?收敛,则?xn?收敛.

(B)若?xn?单调,则?f(xn)?收敛.

(D)若?f(xn)?单调,则?xn?收敛.

(5)设?1,?2,?3是3维向量空间R3的一组基,则由基?1,2?2,3?3到基

?1??2,?2??3,?3??1的过渡矩阵为( )

???(A)?????112001213?1??0? ??1?3???1? (B)?0???1?0120?1??0? ??1?3?

?1?(C)?2?0?0231??0 ?3??

?1? (D)?0?1?2200??3 ?3??(6)设?1,?2是矩阵A的两个不同的特征值, ?,?是A的分别属于?1,?2的特征向量, 则( )

(A)对任意k1?0,k2?0, k1??k2?都是A的特征向量.

(B) 存在常数k1?0,k2?0, k1??k2?是A的特征向量. (C) 当k1?0,k2?0时, k1??k2?不可能是A的特征向量.

(D)存在惟一的一组常数k1?0,k2?0, 使k1??k2?是A的特征向量.

(7)两只一模一样的铁罐里都装有大量的红球和黑球,其中一罐(取名“甲罐”)内的红球数与黑球数之

比为2:1,另一罐(取名“乙罐”)内的黑球数与红球数之比为2:1,今任取一罐并从中取出50只球,查得其中有30只红球和20只黑球,则该罐为“甲罐”的概率是该罐为“乙罐”的概率的( ) (A) 154 (B) 254倍 (C) 798倍 (D) 1024 (8)已知?X,Y?服从二维正态分布,EX?EY??,DX?DY??2,X与Y的相关系数??0,则X与

Y( )

(A)独立且有相同的分布 (B)独立且有不相同的分布

(C)不独立且有相同的分布 (D)不独立且有不相同的分布 二、填空题:9?14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上. ...(9)?21x311exdx=_______

?x?e?t2dy?2(10)设?,求2tdxy??ln?1?u?du?0???????????????????

t?0(11)若二阶常系数线性齐次微分方程y???ay??by?0的通解为y??C1?C2x?e,则非齐次方程

xy???ay??by?x 满足条件y?0??0,y??0??0的解为y?

(12)已知曲线L的方程为y?x?1,x???1,1?,起点是??1.0?,终点是?1,0?,则曲线积分

?Lydx?xdy??????????????????

0?? ?1?B?22?AT(13)设A,B都是n阶可逆矩阵,且A?2,B?3, 则?2??0(14)随机地向半圆0?y?22ax?x(a为正常数)内掷一点, 点落在半圆内任何区域的概率与区域的面

积成正比, 则原点和该点的连线与x轴的夹角小于

?4的概率为______.

三、解答题:15—23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

x2(15)(本题满分9分)求极限lim2?1?1?xx22x?0?cosx?e?sinx2

2(16)(本题满分10分)在抛物线y?x,(0?x?8)上求一点,使得该点的切线与直线y?0与x?8所围

成的三角形面积最大

(17)(本题满分12分)设函数f?x?在闭区间?a,b?上连续,在开区间?a,b?内可导,且f??x??0,若极

x?a (1)在?a,b?内f?x??0;

x?a?限limf?2x?a?存在,证明:

(2)在?a,b?内存在?,使

b?aba22?f?x?dx?2?f???;

(3)在?a,b?内存在与(2)中?相异的点?,使 f?????b2?a2??

(18)(本题满分10)设S为椭球面

x22??f?x?dx??aab

2?y22?z2?1的上半部分,点P?x,y,z??S,?为S在点P处的

切平面,??x,y,z?为原点到?的距离,求??Sz??x,y,z?dS

(19)(本题满分11分)设幂级数在负无穷到正无穷内收敛,其和函数y(x)幂级数为?anx ,且和函数

y???2xy??4y?0,y(0)?0,y?(0)?1

n(1) 证明:an?2?2ann?1(2) 求y(x)的表达式

,n?1,2.3,......

(20)(本题满分11分)设A?(aij)3?3是实矩阵,满足:

(1)(aij)?(Aij)(i,j?1,2,3),其中Aij为元素aij的代数余子式; (2)a33??1; (3)A?1

?0???求非齐次线性方程组Ax??0?的解

?1???

(21)(本题满分10)设有n元实二次型,

f?x1,x2,...,xn???x1?a1x2?12??x2?a2x3??...??xn?1?an?1xn???xn?anx1?222,其中

ai(?i,为实数。试问:当na1,a2,...,an满足何种条件时,二次型f?x1,x2,...,xn?为正定二次

(22)(本题满分11分)设随机变量X和Y的联合分布是正方形G???x,y?:1?x?3,1?y?3?的均匀分

布。试求随机变量U?X?Y的概率密度p(u)

?6x(??x),?(23)(本题满分10分)设总体X的概率密度为:f(x;?)???3?0,?0?x??其他,其中?是未知参

数,X1,X2,...,Xn是来自总体X的简单随机样本,

?(1)求?的矩估计量?;

?)D(?(2)求

.

模拟四