所以属于特征值?1??2?9的所有特征向量为

??1???2??????k11?k20，其中k1,k2是不全为零的任意常数.

???????0???1?? k1?1?k2?2当?3?3时，解(3E?A)x?0，得线性无关的特征向量为

?0??? ?3?1，

????1???0???所以属于特征值?3?3的所有特征向量为k3?3?k31，其中k3?0为任意常数.

????1??方法二：设A的特征值为?，对应特征向量为?，即 A????. 由于A?7?0，所以??0.

A 又因 A*A?AE，故有 A*????.

于是有 B(P?)?P?1?1A*P(P?)??1A?(P?)，

?1 (B?2E)P??(?1A??2)P?.

?1因此，

A??2为B?2E的特征值，对应的特征向量为P?.

?1??3由于 ?E?A??2?2?2?2?2?(??1)(??7)，

2??3?2??3故A的特征值为?1??2?1,?3?7.

??1???1?????当?1??2?1时，对应的线性无关特征向量可取为?1?1， ?2?0.

???????0???1???1???当?3?7时，对应的一个特征向量为?3?1.

????1??

由 P?1?0??1???0100?1??1???1??0?????????1?1?10，得P?1??1，P?2??1，P?3?1. ??????????1???0???1???1??因此，B?2E的三个特征值分别为9，9，3.

对应于特征值9的全部特征向量为

?1???1??????k1?1?k2?1，其中k1,k2是不全为零的任意常数；

???????0???1?? k1P?1?k2P?2?1?1对应于特征值3的全部特征向量

?0????1 k3P?3?k31，其中k3是不为零的任意常数.

????1???1（22）设随机变量X与Y独立,其中X的概率分布为X~??0.3?2??,而Y的概率分布为f(y),试求随机0.7??变量U?X?Y的概率密度g(u) 解：

P{U?u}?P{X?Y?u}?P{X?Y?uX?1}P{X?1}?P{X?Y?uX?2}P{X?2}?P{Y?u?1X?1}P{X?1}?P{Y?u?2X?2}P{X?2}由于X与Y独立，可知P{Y?u?1X?1}?P{Y?u?1},P{Y?u?2X?2}?P{Y?u?2}则P{X?Y?u}?P{Y?u?1}?0.3?P{Y?u?2}?0.7?0.3F(u?1)?0.7F(u?2)因此FU(u)?0.3F(u?1)?0.7F(u?2),从而g(u)?0.3f(u?1)?0.7f(u?2)

?2e?2(x??),若x??（23）设总体X的概率密度为f(x)??，

若x???0,^其中??0是未知参数.从总体X中抽取简单随机样本X1,X2,?,Xn，记??min(X1,X2,...,Xn)，

（1） 求总体X的分布函数F(x)^；

（2） 求统计量?的分布函数F^(x)；

?^（3） 如果用?作为?的估计量，讨论它是否具有无偏性.

解： （1）F(x)?x???f(t)dt，当x??，F(x)?0；