f?(x)?f?(x)?f?(0)??x0?f??(t)dt?2?(?1)n?0?n?x0?tdt?2?n?0n2n(?1)n2n?1?x2n?1，x?(?1,1)
而f(x)?1?f(x)?f(0)??x0f?(t)dt?2?n?0?2n?1?(?1)x0t2n?1dt?2?n?0n(?1)n(2n?1)(2n?2)x2n?2，x?(?1,1)
?故有f(x)?1?2?n?0(?1)n(2n?1)(2n?2)?x2n?2?1?2?n?1(?1)2n(2n?1)x2n，x?(?1,1)
当x??1时，级数2?n?1(?1)n2n(2n?1)nx2n绝对收敛
?知f(x)?1?2?n?1(?1)2n(2n?1)x2n，x?[?1,1]
TTT（20）（本题满分10分）设A?(aij)m?n，y?(y1,y2,?,yn)，b?(b1,b2,?,bn)，x?(x1,x2,?,xn)，
?AT证明：方程组Ay?b有解的充分必要条件是方程组??bT???0?x???无解（其中0是n?1矩阵） ???1??TTT【证明】：必要性：设方程组Ay?b有解，则对满足ATx?0的向量x0，bx0?yAx0
?AT?y0?0，从而有??bT?T??AT?0?x???，可见方程组????bT?0?????0?x????无解 ??1???AT充分性：设方程组??bT??ATr?T?b??0?x????无解，则线性方程组的增广矩阵的秩 ??1??T?A0??r???bT1????1 ????AT另一方面，r?T?b?AT所以有r??bT?0?T??r?A1?0??1?r?AT??1?r(A)?1，
??AT?1?r(A)?1。又由于r????bT????r(A)。 ???可知r(A)?r(A)，从而方程组Ay?b有解
?1??1?????（21）（本题满分12分）设三阶实对称矩阵A的特征值分别为0,1,1，?1??a?,?2???1?是A的两个不
?0??a?????同的特征向量，且A(?1??2)??2
（1）求参数a的值；
（2）求方程Ax??2的通解； （3）求矩阵A
解：（1）若?1,?2均为?1?0的特征向量，则有A(?1??2)?A?1?A?2?0??2，矛盾 若?1,?2均为?2??3?1的特征向量，则有A(?1??2)?A?1?A?2??1??2??2，矛盾
可见?1,?2是属于实对称矩阵A的两个不同特征值的特征向量，且?1是属于特征值?1?0的特征向量，?2是属于特征值?2??3?1的特征向量，根据实对称矩阵的性质，?1,?2必正交，故有?1T?2?1?a?，得
a?1
?0?（2）因为A可以对角化，且A????1??，可见r(A)?2于是齐次线性方程组Ax?0的基础解系所含?1??解向量的个数为3?r(A)?1，而A?1?0，因此?1可作为Ax?0的基础解系，又?2是Ax??2的特解，?1??1?????故Ax??2的通解为x??2?k?1???1??k?a?，k为任意常数
?a??0??????x1?（3）设?2??3?1的另一特征向量为?3??x2?x?3???，则?3与?1正交，不妨进一步要求?3与?2也正交，则????1???TT有?1?3?x1?x2?0，?2?3?x1?x2?x3?0，解得?3??1?
?2????1?2?1????2?0????12?0??0? ??1???由A(?1,?2,?3)?(0,?2,?3)，得A?(0,?2,?3)(?1,?2,?3)?1120（22）（本题满分11分）假设一设备开机后无故障工作时间X服从指数分布，平均无故障工作的时间EX为5小时。设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机。试求该设备每次开机无故障工作的时间Y的分布函数F(y)
?0,x?0??1?解：由题意可知X?E??，其分布函数FX(x)??。 x?5?5???1?e,x?0Y的分布函数F(y)?P?Y?y??P?min?X,2??y?。可知：
当y?2时，F(y)?P?min?X,2??y??1；
?0,y?0?当y?2时，F(y)?P?min?X,2??y??P?X?y??FX(y)??。 y?5??1?e,0?y?2?0,y?0?y??因此，Y的分布函数F(y)??1?e5,0?y?2。
?1,y?2??（23）（本题满分11分）设总体X的概率密度为
1??2?,?1?f(x)??,?2(1??)?0,??0?x????x?1
其他X1,X2,?,Xn 为来自总体X的简单随机样本，X是样本均值.
?（1）求参数?的矩估计量?.
（2）判断4X2是否为?的无偏估计量，并说明理由.
解：（1）EX???2X??122?????xf(x)dx???0x?12?dx???1x?12(1??)dx??2?14，得X???2?14，参数?的矩估计量
.
2（2）E?4X??4E?X??4?DX2?(EX)2??4(1DXn2?(?12?))244?DXn?????214，由于DX?0,
??0，可知E?4X2???2，所以4X2不是否为?的无偏估计.
数一模考五答案
一、选择题
（1）D （2）A （3）A （4）C （5）C （6）D （7）C （8）C 二、填空题
（9）10ln3 （10）2 （11）dx?2dy
1n（12）?2 （13） ?2 （14）[1?(1?2p)]
2三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
n（15）（本题满分10分）设连续函数f(x)在[1,??)单调减少，且f(x)?0，若un?证明：limun存在
n???k?1f(k)??n1f(x)dx，
n?1n证明：un?1?un??k?1f(k)??f(k)?k?1?n?11f(x)dx??n1f(x)dx
?f(n?1)??n?1nf(x)dx
?f(n?1)?f(?)??(n,n?1)由f(x)在x?1时连续且单调减小知f(n?1)?f(?)，即un?1?un，{un}单调减小， 又un?f(1)?f(2)???f(n)??f(x)dx
1n?[f(1)??[f(1)???212f(x)dx]?[f(2)?f(1)dx]?[f(2)???32f(x)dx]???[f(n?1)?f(2)dx]???[f(n?1)???nn?1f(x)dx]?f(n)f(n?1)dx]?f(n)
32nn?11?f(n)?0即{un}有下界，故limun存在
n??（16）求f(x,y)?xy在圆周L:(x?1)2?y2?1?0上的最大值和最小值 解：令F(x,y)?xy??[(x?1)2?y2?1] ?F?y?2?(x?1)?0由
?x?F?y解得????x?2?y?0y2x?2??x2y
所以有y?x?x，代入(x?1)?y?1?0，得x?222232,y??32或x?0,y?0（舍去）
故xy??334?1，所以f(x,y)在圆周上的最大值是
334，最小值是?334
（17）过点??',0?且满足关系式?arcsinx?y??2?'y1?x2?1的曲线方程。
解：整理微分方程?arcsinx?y?y1?x2?1，得到