第六讲

等比数列与等差数列

高考要求

数列的概念和表示法 等差数列的概念 等比数列的概念 等差数列与等比数列 等差数列的通项公式与前n项和公式 等比数列的通项公式与前n项和公式 C 要求层次 B B B C 重难点 ⑴数列的概念和简单表示法 ①了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）． ②了解数列是自变量为正整数的一类函数． ⑵等差数列、等比数列 ①理解等差数列、等比数列的概念． ②掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式． ③能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题． ④了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系． 知识精讲

板块一：等差数列与等比数列的基本性质

（一） 知识内容

等差数列：

定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列

就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．

通项公式：an?a1?(n?1)d?am?(n?m)d；

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前n项和公式：Sn?n(a1?an)n(n?1)?na1?d． 22

等差数列?an?的性质（其中公差为d）：

a?a⑴am?an?(m?n)d，d?mn；

m?n⑵若p?q?m?n，则有ap?aq?am?an；若2m?p?q，则有2am?ap?aq（p，q，m，n?N?）； ⑶在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即an，an?m，an?2m，??为等差数列，公差为md；

S2n?Sn，S3n?S2n，??为等差数列，公差为n2d； ⑷等差数列的n项和也构成一个等差数列，即Sn，⑸若等差数列的项数为2n，则有S偶?S奇?nd，

S2n?1?S奇?S偶，且中间项an?1?S奇?S偶，

S奇S偶?S奇S偶?an；若等差数列的项数为奇数2n?1，则an?1n?1； n?1⑹?an?为等差数列，则S2n?1?(2n?1)an；Sn为前n项和，?bn?为等差数列，Sn?为前n项和，S2n?1??(2n?1)bn；有

等比数列：

定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列

就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q(q?0)表示．等比数列中的项不为

0．

anS2n?1?． bnS2n?1?(q?1)?na1　　　　　　　　?通项公式：an?a1qn?1?amqn?m；前n项和公式：Sn??a1(1?qn)a1?anq．

?(q?1)?1?q1?q?

等比数列{an}的性质（其中公比为q）： ⑴an?amqn?m，q?n?man； am2⑵若p?q?m?n，则有ap?aq?am?an；若2m?p?q，则有am?ap?aq；

⑶等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an?m，an?2m，??为等比数列，公比为qm．

S2n?Sn，S3n?S2n，??为等比数列，公比为qn． ⑷等比数列的n项和也构成一个等比数列，即Sn，

（二）典例分析：

【例1】 （2009全国Ⅰ14）

设等差数列?an?的前n项和为Sn．若S9?72，则a2?a4?a9? ．

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【例2】 （2009辽宁14）

等差数列?an?的前n项和为Sn，且6S5?5S3?5，则a4? ．

【例3】 （2009新课标安徽5）

已知?an?为等差数列，a1?a3?a5?105，a2?a4?a6?99，以Sn表示?an?的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是（ ） A．21 B．20

【例4】 （2009海南宁夏8）

2等差数列?an?的前n项和为Sn，已知am?1?am?1?am?0，S2m?1?38，则m?（ ）

C．19 D．18

A．38 B．20 C．10 D．9

【例5】 设数列?an?是等差数列，且a2??8，a15?5，Sn是数列?an?的前n项和，则（ ）

A．S10?S11 B．S10?S11

【例6】 （2009上海12）

?ππ?已知函数f?x??sinx?tanx，项数为27的等差数列?an?满足an???，?，且公差d?0．若

?22?k? 时，f?ak??0． f?a1??f?a2????f?a27??0，则当

C．S9?S10 D．S9?S10

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【例7】 （2008广东五校高三联考）

a1?b1，已知数列?an?、其首项分别为a1、且a1?b1?5，{bn}都是公差为1的等差数列，b1，a1，b1?N?，n?N?，则数列{abn}前10项的和等于（ ）

A．55 B．70 C．85 D．100

【例8】 ⑴（2009辽宁6）

设等比数列?an?的前n项和为Sn，若A．2

B．

S6S?3，则9?（ ）

S6S37 3

8C．

3 D．3

⑵（2009江苏14）

2，?)，若数列?bn?有连续四项在集合设?an?是公比为q的等比数列，q?1，令bn?an?1(n?1，19，37，82?中，则6q? ． ??53，?23，

【例9】 （2009新课标江苏17）

2222设?an?是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，满足a2，S7?7 ?a3?a4?a5⑴求数列?an?的通项公式及前n项和Sn； ⑵试求所有的正整数m，使得

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amam?1为数列?an?中的项． am?2