《小学数学教学中数形结合解决问题的有效性研究》
结题报告
【内容摘要】
本文是《小学数学教学中数形结合解决问题的有效性研究》结题报告。主要讲述了用数形结合的思想方法将小学数学中一些抽象的问题给以形象化的原型，将复杂的问题赋予灵活变通的形式，从而给学生思维灵活性的思维迁移训练，指导学生如何借助于数形结合将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，恰当地借助直观图形，让数量基于图形“显山露水”。从而达到解决问题，锻炼能力的目的。
【关键词】数形结合、解决问题、有效性 【正文】
一、问题的提出及意义
从目前检索与搜集到的资料来看，新课改以来，发展学生空间能力的重要性已是不争的事实，如何培养学生的空间观念是备受关注的问题。空间观念是创新精神所需要的基本要素，没有空间观念，几乎谈不上任何发明创造，所以明确空间观念的意义、认识空间观念的特点、发展学生的空间观念，对培养学生初步的创新精神和实践能力是十分重要的。数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的学科，从总的来说，数学是数与形结合的学科。数形结合思想的实质即通过数形之间的相互转化，把抽象的数量关系，通过形象化的方法，转化为适当的图形，从图形的结构直观地发现数量之间存在的内在联系，解决数量关系的数学问题，这是数形结合思想在小学数学中最主要的呈现方式。另外，数形结合思想在关于几何图形的问题中，用数量或方程等表示，从它们的结构研究几何图形的性质与特征，这是另一种呈现方式。在小学数学中，运用数形结合的思想，充分利用“形”把题中的数量关系形象、直观的表示出来，如通过作线段图、树形图、长方形面积图、集合图、数轴等，帮助学生理解抽象的数量关系、数学概念，使问题简明直观，甚至使一些较难的问题迎刃而解。提供了大脑形象思维的表象材料，调动了右脑思维的积极性和主动性，提高了形象思维能力，促进了个体左右脑的协调发展，使人变得更聪明。《课标》要求：把在解决问题的过程中发展学生的“符号感”作为义务教育阶段的一个重要的数学学习内容；把“空间观念”作为义务教育阶
1
段培养学生初步的创新精神和实践能力的一个重要学习内容。那么实现数形结合作为研究目标，对学生培养空间观察、发展空间能力有着重要的现实意义。 二、课题核心概念的界定
“数形结合”是中学数学中比较重要的一种思想方法，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，在数的问题与形的问题之间互相转换，使数的问题图形化，形的问题代数化，从而巧妙地解决貌似困难、复杂的问题，达到事半功倍的目的。而在小学，学生正处于形象思维与逻辑思维并肩发展的阶段，在小学数学中，特别是新教材也渗透了“数形结合”的思想，在小学阶段更是培养学生的“数形结合”的思想好时期。在小学数学教学中教师要有意识地沟通数、形之间的联系,帮助学生逐步树立起数形相结合的观点,并使这一观点扎根到学生的认知结构中去,成为运用自如的思想观念和思维工具。
三、研究目标
1、本课题研究和实践数学数形结合教学的问题，引导学生把抽象的数学概念直观化，帮助学生形成概念；
2、使计算中的算式形象化，帮助学生在理解算理的基础上掌握算法； 3、将复杂问题简单化，在解决问题的过程中，提高学生的思维能力和数学素养。
4、主动而有效地读懂数学中的重要信息，并整理信息，提出问题、分析问题、解决问题的能力，养成自主探索、自我评价、合作交流的学习习惯，增强对数形结合思维模式的认知，体会数形结合教学对数学知识形成的意义，从而培养图形与空间观念的认知能力，对创新精神和实践能力的发展打好坚实的基础。
2
四、研究内容
1．了解实验班学生“数形结合”意识的现状与分析，根据分析内容合理利用数形结合的教学方式提高学生的读题和解决问题能力，让图形更好为理解数学知识提供帮助。
2．如何在图形教学中建立数学概念，发展空间观念。
3．如何让学生主动自觉利用数形思维来分析解决问题，将数形结合的思想内化成自己的需要。
4．如何用数形结合能力来实现创新精神与实践能力。 五、课题研究方法
1、文献资料法：通过查阅小学数学数形结合的教学方式相关文献资料，了解、确定自己研究课题所及的范围，明白“搜索”方向。其次，对研究现状做全面的了解，加强课题研究的针对性。
2、问卷调查法：通过对小学数学数形结合教学实效的科学认识及了解。结合实验教师教学过程中所遇到的问题，整理成问卷。充分了解学生对现行数学课堂中数形结合思想运用的意见和建议，从而实现小学数学数形结合教学的实效性。
3、观察法：研究者按照一定的目的和计划，在教育教学活动中，对研究对象进行系统的观察研究，从而了解某些特征和规律的方法。 4、经验总结法：在课题研究的过程中，课题组要求实验教师把教育实践能提供的事实，按照科学的程序，分析现象，探索规律，撰写相关的经验文章，变感性认识为理性认识。 六、研究对象：
二（1）、二（六）、三（1）、六（3）、 七、研究过程：
我校课题组将课题研究定位在运用新的课程理念，分析影响学生数形结合水平的因素；结合传统的教学优势，根据分析内容寻求合理
3
利用数形结合的教学方式提高学生的读题能力、解决问题能力的有效策略，让图形更好为理解数学知识提供帮助，发展学生空间观念。本课题的研究我们分三个阶段进行：2013.9～2013.11为准备阶段：2013.11——2014.5为实施阶段：2014年5月～2014年6月为总结阶段。
（一）前期诊测、了解现状、提出策略。
课题立项后，课题组成员通过查阅学习小学数学数形结合的教学方式相关文献资料，进行了沟通交流，意识到小学数学教学“数形结合”的应用在实际教学中存在一些问题,如画线段图的方法是每一个数学老师都在使用的方法，如何让它变为学生自己解决问题的方法，这方面教师思考不深刻，在课堂中师画生听机械模仿的情况是客观存 在的。因此我们对学生进行《小学数学教学中数形结合解决问题的有效性研究》课堂教学观察：
通过分析调查表，得出部分学生思想里数学成了封闭的系统，成了固定的逻辑关系，学生重复所学知道即可解决。影响学生数形结
时间 观察者： 地 点 授课内容 观察主题 《小学数学教学中数形结合解决问题的有效性研究》--数形结合方法的运用 观 察 记 录 学 生 表 现 1、你认为数学好学吗？你的学习兴趣是否浓厚。 2、能否积极参与教学活动。 3、能否在学习中自觉从教师推荐的资源（重点：数形 结合方法的运用）中自主选择、重组信息、能否“发现”规律，形成自己的见解并有效表达自己的观点。 4、合作学习中，能否与同学有效合作，能否照顾其他 同学的学习需要。 5、学习中，能否对老师和同学提出的观点大胆质疑， 提出不同意见。 6、学习中，能否应用已经掌握的知识与技能，解决新 问题。 7、教师授课方式你喜欢吗？ 8、学习中，能否反思自己的学习行为，调整学习策略。 观察结果 总体评价及 建议 4
合水平的因素主要有学生掌握的知识有限，个人学习方法不当；平时疏于练习；学生受思维定势影响，灵活程度不够；还有一点学生信心不足，缺乏创新精神。课题组成员结合学生情况也查找了自身问题， 表现在教师忽视数学思想的教学，在数学教学中，有的教师在无意中就把大部分数学思想和数学方法的学习推给了学生自己，他们在上课时仅仅满足于把书上的基础知识讲完，他们不会拓宽讲一些书本上没有或者课标上明确不考的数学思想和数学方法，从而导致有的学生从来就没听过“数形结合”这个词，更不提用数形结合思想去解题了。另外教师讲解不到位，在教学中也有一少部分教师在上课时可能讲授诸如“数形结合”等书上没有的数学思想和方法，但他们讲解的目的往往也是提高班级中一些“尖子生”的解题能力的，讲解时只要班级的一些“尖子生”听懂他就认为教学效果达到了，对于一些数学能力不强的学生他们是不会关心的，所以长此以往必然导致学生数形结合能力水平的低下。所以课题组教师统一思想，共同探讨了2个问题：
1、在什么样的情景下需要数形结合？ 2、怎样让学生学会画图，提高解决问题的能力
根据问题提出以下几点提高学生“数形结合”思想的策略： 1、在教学过程中充分利用教材，挖掘教材素材，渗透同一思维原则。同一思维的原则，就是前人用什么思维方式获得的知识，学习时，要用同一种思维方式去掌握这些知识。数学学习是一种再认识过程，学习某项知识所用的思维方式，同前人获得该项知识所用的思维方式应该是一致的。而“数形结合”是抽象与直观，思维与感知的结合，学习时就要把两种思维结合起来去理解、掌握这些知识。因此，“数形结合”教学活动中正确地运用思维方式，有机地把两种思维结合起来，是理解掌握知识的关键。此外，我们在教学中常思考：如何在小学的不同年龄段安排不同的数形结合内容，以适应学生的思维发展和几何直观能力发展的需要？
2、创设有利于学生直观思维的教学情境。
5
进行思维活动要有一定的知识经验为基础，没有已有知识、经验表象的参与，就没有思维活动。“数形结合”的学习活动既有抽象思维，又有形象思维。进行抽象思维一般要靠知识的新旧迁移，进行形象思维主要靠表象的积累。当学生没有或缺乏教学内容有关的表象积累，或表象模糊的时候，必须用直观形象材料强化，充实孩子的感知，使孩子获得有关表象。在教学中我们鼓励学生在题意不清时借助简图帮助读懂题意；在数量关系不明时借助画图，提高问题的分析能力；在很多课中课题组成员还利用媒体课件，提高课堂密度与教学效率。
3、对“数形结合”的培养建立起积极评价机智。
“数形结合”教学中也蕴含着丰富的情感因素：首先，数学知识是和科学美感融合在一起的。其次，教师对教材的体验、感受和对数学的热爱，通过教学对孩子起了良好的熏陶、感染的作用。第三，学生在学习数学过程中产生对数学的兴趣和爱好，成功解题带来的喜悦和愉快的情绪。这种伴随认知学习产生的情感，能成为支持和推动学习的动力。另一方面，教师应对孩子的学习行为及时给予正确的评价，肯定成绩，激起孩子学习的热情和信心。 （二）数形结合、实际运用、解决问题。
1、专题研讨，追求有效课堂
仅仅停留在静学的层面上，课题研究是没有价值的，我们课题组教师决定就数形结合课堂教学中存在的共性问题进行研讨，每一节数学课都是研究课。在数学教学的全过程中课题组教师树立了研究意识，有意识地运用“数形结合”方法设计教学，记录下真实地发生在课堂上的典型教学案例，包括成功案例和失败案例，进行案例分析，不断实践、反思、积累。如2013年11月我们开展的二年级两位教师的研讨课活动，针对学生运用图形帮助学生理解算理的专题研讨，在马红老师和索美艳老师两位的展示中，我们发现教师数形结合的渗透越来越有效，通过数与物（形的）对应结合，帮助学生理解掌握乘法
6
的意义，并抽象地运用于整个数学学习中，而学生也在尝试中发现算理。2013年12月洪燕老师给我们展示了一节课题研讨课《四边形》，我们也邀请到了米东区教研室数学教研员杨静梅老师，跟课题组成员一起观课、析课、议课，在这次活动中感触颇深，对于数形结合，中学运用广泛，小学相对较弱，刚好杨老师教过中学，在对比中杨老师肯定了我们的做法，她说我们以教材的相关内容为载体，向学生点破阐释，突出数形结合思想的应用。把形转化为数，用数量关系研究图形，把数转化成形，用形进一步掌握数，使学生获得解决问题的经验，形成技能，领悟数形结合的思想。还希望课题组成员把这种方法在学校内进行推广，有对比才会发现的更多。
此外，课题组还开展了2次专题研讨，教师应该如何进行数形结合的渗透?以及学生运用数形结合的能力如何?
通过研究认为在知识的形成过程中，我们要突出形象的感觉、形象的储存、形象的判断、形象的创造和形象的描述，重视有效的动手操作和情境的创设，让学生动手、动跟 、动口，多种感官参加学习，使操作、观察等有机结合，激发学生多向思维。
教师应充分利用学生形象思维的特点大量地用“形”解释、演示、帮助理解抽象的“数”。如在应用题教学中特别重视发挥线段图的作用。数学教学中的实物、示意图、线段图、平面图、立体图等是用形来表示数量关系，用形 来表示数，它既能舍去应用题的具体情节，又能形象地揭示出条件与条件、条件与问题之间的关系，把数转化为形 ，明确显示出已知与未知 的内在联系，激发学生 的再造性想象，激活学生的解题思路。在教学中，可经常进行一些根据线段图列出算式，根据算式画线段图，根据线段图编应用题，根据应用题画线段图
7
等训练，让学生在潜移默化中悟出画图的方法，感受到数与形结合的优点，养成根据题意画图帮助理解题意，激发学生数形结合的学习兴趣，为学生长远学习奠定好的学习方法，从而提高学生的数形转化能力，实现形象思维和抽象思维的互助互补，相辅相成。
我们边实践，边掌握方法，因此，在教学实践中，我们运用“数形结合”思想进行教学，即提高学生的解题能力，又促进学生智力的发展。
2、注重评课、提高研究实效。
每次的评课现场都是课题组最热闹的时候，每次大家都能知无不言言无不尽畅谈每一节课的优缺点，在说评课基础上，我们还经常就一节课的要求课题组成员结合课题研究的内容和课改理念撰写观后感，而后以论文的形式交流研讨，将以往简单一说了之上升到理论高度，既让执教教师受益，也让听课教师提高教科研水平，一举两得。冶存梅老师帮带的青年教师马林梅在2014年4月25日在全区展示了一节《面积和面积单位》，课中数学结合方法运用明显，课后各个学校的教师纷纷发表了看法，大家仁者见仁智者见智，经综合讨论，马老师这节课破格被米东区推荐，直接参加了自治区陶研会大赛课，获得了好评。通过多
次活动，课题组成员认识到以形助数，揭示数量之间的关系，解决大量实际问题。如果说从图形上抽象出符号，只能代表人们的认知事物的过程，还不能体现其在数学中的独特作用。那么以形助数，善于在
8
图形的分析中快捷地解决问题，思维层次不断上升。这就充分体现了“数形结合”在小学数学中用处了。数形结合的思想方法将小学数学中一些抽象的代数问题给以形象化的原型，将复杂的代数问题赋予灵活变通的形式，从而给人们思维灵活性的思维迁移训练，这正是反映了数形结合的思想方法解决数与代数问题的有效途径所在。
3、加强交流，相互学习经验
课题研究的过程是一个开放的过程，是一个学习和研讨的过程，课题组成员重视同年级组内部的交流和全校课题组的定期研讨，使个体智慧溶入集体智慧，集体智慧激发个体智慧。积极参加师资培训工作，通过各种形式的培训工作，提升自己的教学理念、学科素养和教学能力、科研能力。在2014年1月和2014年5月我们进行了课题的心得交流活动，在交流中，大家互相借鉴，更加明确了课题研究的方向和策略。
八、研究研究结果及其分析、讨论
（一）通过课题研究提高了教师教学设计能力，优化了教师教学行为。 小学数学教学在不断改革，教学方式在不断变化，在实施中学生由于问题解决的能力加强，各方面都得到了发展，学生自己享受体验的课堂教学往往要比那些单向灌输的课堂更难以驾驭，这时就促使教师不断地学习，使自己的教学能适应现在的课堂，这样教师在课前备课时就做到从学生学习需要出发，以促进学生“怎样有效地学”为主要思考坐标，重点解决学生“学什么” “怎么学”“学到什么程度”“采用什么方式学”等问题为主要内容进行教学设计。让学生在
9
课堂上带着一定的情感、态度、价值观去主动地学习、主动地发展。在这种思想驱使下教师教学设计的能力就不断地在提高，教学过程也不断地得到优化。
（二）数形结合在解决问题方面的成效
1、通过课堂教学中数形结合方法的应用，学生数学概念掌握得更扎实。
对小学生学生来说，许多数学概念比较抽象，很难理解，特别需要视觉的有效应用，因此教师采用数形结合的思想展开概念的教学，运用图形提供一定的数学问题情境，通过对图形的分析，帮助学生理解数学概念。例如，马风兰在教学100以内的数的认识时，学生大多对100以内的数顺背、倒背如流，看上去掌握得很不错。于是她出示了这样一道题考考学生：66接近70还是60呢？结果却发觉好多学生都不会。分析其原因主要是有些学生只是机械地会背这些数，关于数的顺序、大小等方面的知识其实掌握不佳，因而需要教师创设一定的情境让学生进一步感知和学习的。于是她在黑板上画了一条数轴，称它是一条带箭头的线，在数轴上逐一标出60～70，将抽象的数在可看得见的线上形象、直观地表示出来，将数与位置建立一一对应关系，这样就有助于学生理解数的顺序、大小。标出数字后她又在60和70处画了两幢房子，提问：“67这个数它喜欢去谁的家呢？”看着图画，几乎所有的学生都回答：“喜欢去70的家，因为66距离70比较近”。随后教师进一步说明：66再数4就是70，60要数6才是66，很显然是66接近70。这样，通过数轴的帮助，让学生把数与形进行合理的联系，从而确定了数的范围，使学生在头脑中建立了形
10
象的数的模型，形成了一个直观的几何表象，这对培养学生的数感是很有效的。从以上的设计和学习过程中我们不难发现：“数”的思考、“形”的创设，既激发了学生的学习兴趣，又能有效地提高学生的数学思维水平。
2、通过课堂教学中数形结合方法的应用，学生算法理解得更透彻。 在小学数学课堂教学中，教师不但要教给学生知识，更重要的是让学生经历知识的形成过程，有计划、有意识地让学生掌握各种不同的探究策略，这是落实数学新课程目标、提高学生数学素养的必由之路。数形结合不仅是一种思想，也是一种很好的教学方法。在计算教学中，许多算理学生模棱两可，如能做到数形结合，学生可以更透彻地理解和掌握。如：洪燕老师在教学中出示“一块长8米，宽5米的长方形菜地，一条长边靠院墙，其余三边围上竹篱笆，篱笆长多少米？”的题，初次碰到这道题目的学生由于缺乏生活经验常常对“靠院墙”“ 三边围上竹篱笆”不理解，以至于无法解题。这时教师让学生在黑板上画一个草图，再解决问题。通过这样的教学设计，把不明确的题意借助于形象的图示，使学生容易理解。通过数形结合，既强化了周长概念的理解，又深刻理解了这个特殊情况中周长的计算方法，突破教学的重点和难点，收到了很好的教学效果。
3、通过课堂教学中数形结合方法的应用，学生问题解决得更形象。
新教材中的解决问题领域的学习内容，它重视了数学知识和生活实际之间的联系，淡化了解决问题的类型，为学生的解答带来了很大困难。因此，在教学的实践过程中，适时采用数形结合思想，把抽象
11
的问题解决放在直观的情境中，在直观图示的引导和教师的启发下，学生就能比较容易地理解各种数量之间的关系，从而能有效提高学生比较、分析和综合的思维能力。在自治区举办的高效课堂培训中，聆听了柏继明老师的高效课堂教学，就让我们课题组成员受益匪浅。在一年级上册经常会出现这样的题目：小明的前面有5人，小明的后面有3人，一共有几人？柏老师就采用排队直接演示，在学生认知挑战中发现+1、-1的作用。在教学过程中，柏老师就采用了数形结合的思想，画画圆圈，透过现象看本质，一切问题都被学生轻松地解决。这也促使我们成员不断反思自己，自觉地在课堂中运用数形结合方法。潜移默化，学生也越来越喜欢运用数形结合来解决问题。
在解决问题中，除了用图示法，教师还经常使用线段图帮助学生理解题意、分析数量关系。学生初期虽然画的不标准，但后期进步特别大。其实，线段图就是采用了数与形相结合的形式，将事物之间的数量关系明显地表达出来，可以使抽象问题具体化、复杂问题简单化，为正确解题创造了条件。利用数形结合解题，实际上是一个“数”与“形”互相转化的过程，即把题目中的数量关系转化成图形，将抽象的数量关系形象化，再根据对图形的观察、分析、联想，逐步转化成算式，以达到问题的解决。“一图抵百语”，让学生逐步养成画图思考的习惯，感受到数与形结合的优点，从而提高学生的数形转化能力，实现形象思维和抽象思维的互助互补，相辅相成。
4、通过课堂教学中数形结合方法的应用，学生图形认识得更全面。
12
在教学过程中，许多内容根据图形的呈现来解决抽象的数学问题，但有时利用“数”来指导“形”，这样使图形的教学更严谨、更科学，学生对图形的认识更全面。例如以一年级上册“认识物体”为例，教学目标是学生会认长方体、正方体、球等一些基本的立体图形。教师除了教学生认识这些图形外，还可以让他们数一数这些图形有几个尖尖的点（就是顶点）、几条线（就是棱）、几个面。经常在教学中渗透数形结合的思想，就会在学生头脑中播下了形与数有密切联系的种子，久而久之，学生也就会逐渐体会到数学中形与数之间的无限魅力。“数”与“形”是贯穿整个中小学数学教材的两条主线，更是贯穿小学数学教学始终的基本内容。“数”与“形”的相互转化、结合既是数学的重要思想，更是解决问题的重要方法。 （三）通过课题研究，学生养成了运用数形结合的良好习惯
我们课题组要求在学习简单的应用题、认识整数、分数、小数的意义以及加、减、乘、除的意义及计算时，在解决应用题时，就要求学生画出线段图来。在学习了平面图形 、立体图形以及它们的周长、面积、表面积、体积发生变化时，都要求学生画出图形，用“形”来理解它们的变化，从而再用数来表示，达到用“形”来理解“数”，用“数”来表示“形”。经过长期的训练，让学生有很好的数形结合的好习惯，提高学生的数学思维能力和转化能力，达到数形统一。通过后期访谈调查，学生在学习中能自觉从教师推荐的资源（重点：数形结合方法的运用）中自主选择、重组信息、能“发现”规律，形成自己的见解并有效表达自己的观点。如学生王子夜说的：“老师让我
13
们不理解题意时画画图，我懒得动，老师就鼓励让我试试，结果画着画着问题竟然被我解决了。我慢慢喜欢上了这种方式，感觉数学还挺好玩的”。这就是孩子的转变，也是每个教师所希望的。让每个学生能主动而有效地读懂数学中的重要信息，并整理信息，提出问题、分析问题、解决问题的能力，养成自主探索、自我评价、合作交流的学习习惯，增强对数形结合思维模式的认知，体会数形结合教学对数学知识形成的意义，从而培养图形与空间观念的认知能力，对创新精神和实践能力的发展打好坚实的基础。
（四）通过课题研究，编辑了一些有效教学案例。
在课题研究过程中，我们十分重视案例的研究，参加课题研究的老师通过课堂教学的不断实践探索，形成了一个个与课程改革相适应的能够促进有效教学的鲜活案例。 九、研究结论
虽然课题研究即将结题，但不意味着数形结合思想方法的研究面临结束，我们在研究中意识到学生数形结合思想的培养绝不是孤立的，受其观察、联想、问题转化等能力的制约，后继还可以研究数形结合思想，如何与其他数学思想相辅相成，同步培养以至形成意识等等方面还需努力。
总之，在小学数学教学中，数形结合抓住了数与形之间的联系，以“形”的直观表达数，以“数”的精确研究形，能不失时机地为学生提供恰当的形象材料，将抽象的数量关系具体化，把无形的解题思路形象化，不仅有利于学生顺利的、高效率的学好数学知识，更有利
14
于学生数学学习兴趣的培养、智力的开发、数学活动经验的积累和数学思想方法的渗透，使数学教学收到事半功倍之效。尤其对于低年级的小学生，巧妙地运用数形结合思想，使得数学教学充满乐趣，学生才能真正喜爱数学，学好数学，用好数学。
课题负责人：冶存梅
2014.6.19
参考文献：
1、刘伟. 《小学数学教材数形结合思想方法例谈》 2010.4 网络
2、徐超巧. 《浅析如何在小学数学教学中渗透数形结合的思想 》2011.8 新课程教研
3、汪渭芳. 《数形结合”天地宽——数形结合思想在小学数学教学中的渗透与应用》 小学数学参考
4、 斯苗儿．《小学数学教学案例专题研究》．浙江大学出版社．2005
15
乌鲁木齐市2013——2014学年立项的小课题
《小学数学教学中数形结合解决问题的有效性研究》
结 题 报 告
乌市97小数学课题组
2014年6月
16